Главная
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




13.02.2021


07.02.2021


24.01.2021


24.01.2021


24.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Дерево квадрантов

Дерево квадрантов

03.02.2021

Дерево квадрантов (также квадродерево, 4-дерево, англ. quadtree) — дерево, в котором у каждого внутреннего узла ровно 4 потомка. Деревья квадрантов часто используются для рекурсивного разбиения двухмерного пространства по 4 квадранта (области). Области представляют собой квадраты, прямоугольники или имеют произвольную форму. Англоязычный термин quadtree был придуман Рафаэлем Финкелем и Джоном Бентли в 1974 году. Аналогичное разбиение пространства известно как Q-дерево. Общие черты разных видов деревьев квадрантов:

  • разбиение пространства на адаптирующиеся ячейки (англ. adaptable cells),
  • максимально возможный объём каждой ячейки,
  • соответствие направления дерева пространственному разбиению.

Классификация

Деревья квадрантов могут быть классифицированы в соответствии с типом данных, который они представляют — пространством, точками, прямыми, кривыми. Также их можно разделить по тому, зависит ли форма дерева от порядка обработки данных. Некоторые виды деревьев квадрантов:

Region quadtree

Деревья квадрантов, разбивающие пространство (англ. region quadtree), представляют какую-либо часть двумерного пространства разбивая его на 4 квадранта, субквадранты и так далее, причём каждый лист дерева соответствует определённой области. У каждого узла дерева либо 4 потомка, либо их нет вовсе (у листьев). Деревья квадрантов, разбивающие пространство, не являются деревьями в полной мере, поскольку положение субквадрантов не зависит от данных. Более правильное название — префиксные деревья (англ. trie).

Дерево высоты n может быть использовано для представления изображения, состоящего из 2n × 2n пикселей, где каждый пиксель имеет значение 0 или 1. Корень дерева представляет всю область изображения. Если не все пиксели только нули или только единицы, она разбивается. В этом случае каждый лист соответствует множеству пикселей — либо только из нулей, либо только из единиц.

Деревья квадрантов, разбивающие пространство, также могут быть использованы для представления переменного разрешения какого-либо набора данных. Например, информация о температуре может храниться в виде дерева квадрантов, каждый узел которого хранит среднюю температуру дочерних узлов.

Если дерево используется для представления множества точек (например, широты и долготы положений каких-либо городов), области разбиваются до тех пор, пока листья будут содержать не более одной точки.

Point quadtree

Деревья квадрантов, хранящие информацию о точках (англ. point quadtree), — разновидность бинарных деревьев, используемых для хранения информации о точках на плоскости. Форма дерева зависит от порядка задания данных. Использование таких деревьев очень эффективно в сравнении упорядоченных точек плоскости, причём время обработки равно O(log n).

Структура узла

Узел дерева квадрантов, хранящего информацию о точках плоскости, аналогичен узлу бинарного дерева лишь с той оговоркой, что узел первого имеет четыре потомка (по одному на каждый квадрант) вместо двух («правого» и «левого»). Ключ узла состоит из двух компонент (для координат x и y). Таким образом, узел дерева содержит следующую информацию:

  • 4 указателя: quad[‘NW’], quad[‘NE’], quad[‘SW’], и quad[‘SE’],
  • точка, описываемая следующим образом:
    • ключ key, обычно выражает координаты x и y,
    • значение value, например, имя.

Edge quadtree

Деревья квадрантов, хранящие информацию о линиях (англ. edge quadtree), используются для описания прямых и кривых. Кривые описываются точными приближениями путём разбиения ячеек на очень мелкие. Это может привести к разбалансировке дерева, что будет означать проблемы с индексацией.

Polygonal map quadtree

Деревья квадрантов, хранящие информацию о многоугольниках (англ. polygonal map quadtree/PMQuadtree), могут содержать информацию о полигонах, в том числе и о вырожденных (имеющих изолированные вершины или грани).

Варианты использования

  • Представление изображений.
  • Пространственные базы данных.
  • Эффективное обнаружение столкновений в двух измерениях.
  • Отсечение невидимых частей ландшафта (англ. view frustum culling).
  • Хранение данных для табличных или матричных вычислений.
  • Вычисления, связанные с многомерными полями (в вычислительной гидродинамике, электромагнетизме).
  • Симуляция игры Жизнь.
  • Вычисление состояний наблюдаемой динамической системы.
  • Анализ частей фрактальных изображений.

Деревья квадрантов являются двухмерным аналогом деревьев октантов (англ. octree).

Псевдокод

Следующий код демонстрирует использование деревьев квадрантов для хранения информации о точках. Возможны и другие подходы к построению.

Структуры данных

Предполагается использование следующих структур данных.

// Простая структура для представления точки или вектора struct XY { float x; float y; function __construct(float _x, float _y) {...} } // Ограничивающий параллелепипед, выровненный по координатным осям // (axis-aligned bounding box, AABB), половинной размерности с центром struct AABB { XY center; XY halfDimension; function __construct(XY center, XY halfDimension) {...} function containsPoint(XY p) {...} function intersectsAABB(AABB other) {...} }

Класс QuadTree

Класс представляет собственно 4-дерево и корневой узел.

class QuadTree { // Константа — количество элементов, которые можно хранить в одном узле constant int QT_NODE_CAPACITY = 4; // Ограничивающий параллелепипед, выровненный по координатным осям, // показывает границы дерева AABB boundary; // Точки Array of XY [size = QT_NODE_CAPACITY] points; // Потомки QuadTree* northWest; QuadTree* northEast; QuadTree* southWest; QuadTree* southEast; // Методы function __construct(AABB _boundary) {...} function insert(XY p) {...} function subdivide() {...} // Создание 4 потомков, делящих квадрант на 4 равные части function queryRange(AABB range) {...} }

Вставка

Следующий метод осуществляет вставку точки в соответствующий квадрант дерева, осуществляя разбиение, если это необходимо.


class QuadTree { ... // Вставить точку function insert(XY p) { // Игнорировать объекты, не принадлежащие дереву if (!boundary.containsPoint(p)) return false; // Объект не может быть добавлен // Если есть место, осуществить вставку if (points.size < QT_NODE_CAPACITY) { points.append(p); return true; } // Далее необходимо разделить область и добавить точку в какой-либо узел if (northWest == null) subdivide(); if (northWest->insert(p)) return true; if (northEast->insert(p)) return true; if (southWest->insert(p)) return true; if (southEast->insert(p)) return true; // По каким-то причинам вставка может не осуществиться (чего на самом деле не должно происходить) return false; } }

Вхождение в диапазон

Следующий метод находит все точки, входящие в некоторый диапазон.

class QuadTree { ... // Найти точки, входящие в диапазон function queryRange(AABB range) { // Подготовить массив под результат Array of XY pointsInRange; // Отмена, если диапазон не совпадает с квадрантом if (!boundary.insersectsAABB(range)) return pointsInRange; // Пустой список // Проверить объекты текущего уровня for (int p := 0; p < points.size; p++) { if (range.containsPoint(points[p])) pointsInRange.append(points[p]); } // Остановка, если больше нет потомков if (northWest == null) return pointsInRange; // Добавить все точки потомков pointsInRange.appendArray(northWest->queryRange(range)); pointsInRange.appendArray(northEast->queryRange(range)); pointsInRange.appendArray(southWest->queryRange(range)); pointsInRange.appendArray(southEast->queryRange(range)); return pointsInRange; } }