Косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр

Косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр — один из многогранников Джонсона (J78, по Залгаллеру — М13+М6+М6).

Составлен из 52 граней: 15 правильных треугольников, 25 квадратов, 11 правильных пятиугольников и 1 правильного десятиугольника. Десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью квадратными; среди пятиугольных граней 3 окружены десятиугольной и четырьмя квадратными, 2 — десятиугольной, тремя квадратными и треугольной, 3 — пятью квадратными, остальные 3 — четырьмя квадратными и треугольной; среди квадратных граней 1 окружена десятиугольной, двумя пятиугольными и квадратной, 4 — десятиугольной, двумя пятиугольными и треугольной, 4 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, 11 — двумя пятиугольными и двумя треугольными, остальные 5 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными; среди треугольных граней 5 окружены пятиугольной и двумя квадратными, остальные 10 — тремя квадратными.

Имеет 105 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 5 рёбер — между десятиугольной и квадратной, 45 рёбер — между пятиугольной и квадратной, 5 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 5 рёбер — между двумя квадратными, остальные 40 — между квадратной и треугольной.

У косо скрученного отсечённого ромбоикосододекаэдра 55 вершин. В 10 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и квадратная грани; в 45 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, выбрав в нём две части — любые два не противолежащих и не пересекающихся пятискатных купола (J5), — и один из них удалив, а другой повернув на 36° вокруг его оси симметрии. Описанная и полувписанная сферы полученного многогранника совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр — один из четырёх наименее симметричных многогранников Джонсона (наряду с J79, J82 и J87): его группа симметрии Cs состоит из тождественного преобразования и одной зеркальной симметрии.

Метрические характеристики

Если косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины a {displaystyle a} , его площадь поверхности и объём выражаются как

S = 1 4 ( 100 + 15 3 + ( 10 + 11 5 ) 5 + 2 5 ) a 2 ≈ 58,114 6508 a 2 , {displaystyle S={frac {1}{4}}left(100+15{sqrt {3}}+left(10+11{sqrt {5}} ight){sqrt {5+2{sqrt {5}}}} ight)a^{2}approx 58{,}1146508a^{2},} V = 1 6 ( 115 + 54 5 ) a 3 ≈ 39,291 2785 a 3 . {displaystyle V={frac {1}{6}}left(115+54{sqrt {5}} ight)a^{3}approx 39{,}2912785a^{3}.}

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

R = 1 2 11 + 4 5 a ≈ 2,232 9505 a ; {displaystyle R={frac {1}{2}}{sqrt {11+4{sqrt {5}}}};aapprox 2{,}2329505a;}

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ = 1 2 10 + 4 5 a ≈ 2,176 2509 a . {displaystyle ho ={frac {1}{2}}{sqrt {10+4{sqrt {5}}}};aapprox 2{,}1762509a.}