Главная
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




26.02.2021


26.02.2021


26.02.2021


26.02.2021


26.02.2021


26.02.2021


26.02.2021


26.02.2021


26.02.2021


26.02.2021





Яндекс.Метрика
         » » Полунепрерывная функция

Полунепрерывная функция

04.02.2021

Полунепрерывность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значения функции в ней.

Определения

  • Пусть дано полное метрическое пространство ( X , ϱ ) . {displaystyle (X,varrho ).} Вещественнозначная функция f : X → R {displaystyle f:X o mathbb {R} } называется полунепрерывной снизу (сверху) в точке x 0 ∈ X {displaystyle x_{0}in X} , если
lim _ x → x 0 ⁡ f ( x ) ≥ f ( x 0 ) ( lim ¯ x → x 0 ⁡ f ( x ) ≤ f ( x 0 ) ) . {displaystyle varliminf _{x o x_{0}}f(x)geq f(x_{0});left(varlimsup _{x o x_{0}}f(x)leq f(x_{0}) ight).}
  • Функция f {displaystyle f} называется полунепрерывной снизу (сверху) на M ⊂ X {displaystyle Msubset X} , если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех x 0 ∈ M {displaystyle x_{0}in M} .

Свойства

  • Функция f : X → R {displaystyle f:X o mathbb {R} } полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество { x ∈ X ∣ f ( x ) > a } {displaystyle {xin Xmid f(x)>a}} открыто в стандартной топологии вещественной прямой для любого a ∈ R . {displaystyle ain mathbb {R} .}
  • Пусть f , g : X → R {displaystyle f,g:X o mathbb {R} } суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма f + g {displaystyle f+g} также полунепрерывна снизу (сверху).
  • Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке x 0 {displaystyle x_{0}} функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в x 0 {displaystyle x_{0}} . Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций f n : X → R , n ∈ N {displaystyle f_{n}:X o mathbb {R} ,;nin mathbb {N} } таких, что f n + 1 ( x ) ≥ ( ≤ ) f n ( x ) ∀ n ∈ N ∀ x ∈ X . {displaystyle f_{n+1}(x)geq (leq )f_{n}(x);forall nin mathbb {N} ;forall xin X.} Тогда если существует предел lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , {displaystyle lim limits _{n o infty }f_{n}(x)=f(x);forall xin X,} то f {displaystyle f} полунепрерывна снизу (сверху).
  • Если u : X → R {displaystyle u:X o mathbb {R} } и v : X → R {displaystyle v:X o mathbb {R} } есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено
    − ∞ < v ( x ) ≤ u ( x ) < ∞ , x ∈ X , {displaystyle -infty <v(x)leq u(x)<infty ,;xin X,}
    то существует непрерывная функция f : X → R {displaystyle f:X o mathbb {R} } , такая что
    v ( x ) ≤ f ( x ) ≤ u ( x ) , x ∈ X . {displaystyle v(x)leq f(x)leq u(x),;xin X.}
  • (Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество K ⊂ X . {displaystyle Ksubset X.} Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция f : K → R {displaystyle f:K o mathbb {R} } достигает на K {displaystyle K} своего минимума (максимума).

Примеры

  • Целая часть x ↦ [ x ] {displaystyle xmapsto [x]} является полунепрерывной сверху функцией;
  • Дробная часть x ↦ { x } {displaystyle xmapsto {x}} полунепрерывная снизу.
  • Индикатор 1 U {displaystyle mathbf {1} _{U}} произвольного открытого в топологии, порождённой метрикой ϱ {displaystyle varrho } , множества U ⊂ X {displaystyle Usubset X} является полунепрерывной снизу функцией.
  • Индикатор 1 V {displaystyle mathbf {1} _{V}} произвольного замкнутого множества V ⊂ X {displaystyle Vsubset X} является полунепрерывной сверху функцией.