Полунепрерывность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значения функции в ней.
Определения
- Пусть дано полное метрическое пространство ( X , ϱ ) . {displaystyle (X,varrho ).} Вещественнозначная функция f : X → R {displaystyle f:X o mathbb {R} } называется полунепрерывной снизу (сверху) в точке x 0 ∈ X {displaystyle x_{0}in X} , если
- Функция f {displaystyle f} называется полунепрерывной снизу (сверху) на M ⊂ X {displaystyle Msubset X} , если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех x 0 ∈ M {displaystyle x_{0}in M} .
Свойства
- Функция f : X → R {displaystyle f:X o mathbb {R} } полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество { x ∈ X ∣ f ( x ) > a } {displaystyle {xin Xmid f(x)>a}} открыто в стандартной топологии вещественной прямой для любого a ∈ R . {displaystyle ain mathbb {R} .}
- Пусть f , g : X → R {displaystyle f,g:X o mathbb {R} } суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма f + g {displaystyle f+g} также полунепрерывна снизу (сверху).
- Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке x 0 {displaystyle x_{0}} функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в x 0 {displaystyle x_{0}} . Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций f n : X → R , n ∈ N {displaystyle f_{n}:X o mathbb {R} ,;nin mathbb {N} } таких, что f n + 1 ( x ) ≥ ( ≤ ) f n ( x ) ∀ n ∈ N ∀ x ∈ X . {displaystyle f_{n+1}(x)geq (leq )f_{n}(x);forall nin mathbb {N} ;forall xin X.} Тогда если существует предел lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , {displaystyle lim limits _{n o infty }f_{n}(x)=f(x);forall xin X,} то f {displaystyle f} полунепрерывна снизу (сверху).
- Если u : X → R {displaystyle u:X o mathbb {R} } и v : X → R {displaystyle v:X o mathbb {R} } есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено
− ∞ < v ( x ) ≤ u ( x ) < ∞ , x ∈ X , {displaystyle -infty <v(x)leq u(x)<infty ,;xin X,}
то существует непрерывная функция f : X → R {displaystyle f:X o mathbb {R} } , такая что
v ( x ) ≤ f ( x ) ≤ u ( x ) , x ∈ X . {displaystyle v(x)leq f(x)leq u(x),;xin X.} - (Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество K ⊂ X . {displaystyle Ksubset X.} Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция f : K → R {displaystyle f:K o mathbb {R} } достигает на K {displaystyle K} своего минимума (максимума).
Примеры
- Целая часть x ↦ [ x ] {displaystyle xmapsto [x]} является полунепрерывной сверху функцией;
- Дробная часть x ↦ { x } {displaystyle xmapsto {x}} полунепрерывная снизу.
- Индикатор 1 U {displaystyle mathbf {1} _{U}} произвольного открытого в топологии, порождённой метрикой ϱ {displaystyle varrho } , множества U ⊂ X {displaystyle Usubset X} является полунепрерывной снизу функцией.
- Индикатор 1 V {displaystyle mathbf {1} _{V}} произвольного замкнутого множества V ⊂ X {displaystyle Vsubset X} является полунепрерывной сверху функцией.