Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности обобщается до n {displaystyle n} -мерного пространства ( n > 2 {displaystyle n>2} ), в таком случае говорят о «единичной сфере».
Для координат всех точек на окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство x 2 + y 2 = 1 {displaystyle x^{2}+y^{2}=1} .
Тригонометрические функции
С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).
Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку ( x , y ) {displaystyle (x,y)} на единичной окружности с началом координат ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0)} , получается отрезок, находящийся под углом α {displaystyle alpha } относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:
cos α = x {displaystyle cos alpha =x} , sin α = y {displaystyle sin alpha =y} .При подстановке этих значений в уравнение окружности x 2 + y 2 = 1 {displaystyle x^{2}+y^{2}=1} получается:
cos 2 α + sin 2 α = 1 {displaystyle cos ^{2}alpha +sin ^{2}alpha =1} .(Используется следующая общепринятая нотация: cos 2 x = ( cos x ) 2 {displaystyle cos ^{2}x=(cos x)^{2}} .)
Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:
sin ( x + 2 π k ) = sin ( x ) {displaystyle sin(x+2pi k)=sin(x)} cos ( x + 2 π k ) = cos ( x ) {displaystyle cos(x+2pi k)=cos(x)}для всех целых чисел k {displaystyle k} , то есть для k ∈ Z {displaystyle kin mathbb {Z} } .
Комплексная плоскость
В комплексной плоскости единичная окружность — это следующее множество G ⊂ C {displaystyle Gsubset mathbb {C} } :
G = { z : R e { z } 2 + I m { z } 2 = 1 } = { z : z = e i ϕ , 0 ≤ ϕ < 2 π } {displaystyle G={z:mathrm {Re} {z}^{2}+mathrm {Im} {z}^{2}=1}={z:z=e^{iphi },0leq phi <2pi }}Множество G {displaystyle G} является подгруппой группы комплексных чисел по умножению, её нейтральный элемент — это e i 0 = 1 {displaystyle e^{i0}=1} ).