Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




13.02.2021


07.02.2021


24.01.2021


24.01.2021


24.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Теорема Егорова

Теорема Егорова

04.03.2021

Теорема Егорова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка

Пусть дано пространство с конечной мерой ( X , F , μ ) {displaystyle (X,{mathcal {F}},mu )} так, что μ ( X ) < ∞ {displaystyle mu (X)<infty } , и определённая на нём последовательность измеримых функций { f n } n = 1 ∞ {displaystyle {f_{n}}_{n=1}^{infty }} , сходящаяся почти всюду к f {displaystyle f} . Тогда для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует множество X ε ⊂ X {displaystyle X_{varepsilon }subset X} такое, что μ ( X ∖ X ε ) < ε {displaystyle mu (Xsetminus X_{varepsilon })<varepsilon } , и последовательность { f n } {displaystyle {f_{n}}} равномерно сходится к f {displaystyle f} на X ε {displaystyle X_{varepsilon }} .

Замечания

  • Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
  • Конечность μ ( X ) {displaystyle mu (X)} принципиальна. Пусть, например, ( X , F , μ ) = ( R , B ( R ) , m ) {displaystyle (X,{mathcal {F}},mu )=(mathbb {R} ,{mathcal {B}}(mathbb {R} ),m)} , где B ( R ) {displaystyle {mathcal {B}}(mathbb {R} )} — борелева σ-алгебра на R {displaystyle mathbb {R} } , а m {displaystyle m} — мера Лебега. Заметим, что m ( R ) = ∞ {displaystyle m(mathbb {R} )=infty } . Пусть f n ( x ) = 1 [ n , n + 1 ] ( x ) , x ∈ R , n ∈ N {displaystyle f_{n}(x)=mathbf {1} _{[n,n+1]}(x),;xin mathbb {R} ,nin mathbb {N} } , где 1 A {displaystyle mathbf {1} _{A}} обозначает индикатор-функцию множества A {displaystyle A} . Тогда { f n } {displaystyle {f_{n}}} сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.

Вариации и обобщения

  • Теорема Егорова естественно обобщается на случай функций со значением в Банаховом пространстве.
  • Теорема Лузина