Главная
Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.
Определение
Пусть задано { X i } i ∈ I {displaystyle {X_{i}}_{iin I}} — индексированное семейство (не обязательно различных) объектов категории C {displaystyle C} . Объект X {displaystyle X} категории C {displaystyle C} вместе с семейством морфизмов π i : X → X i {displaystyle pi _{i}colon X o X_{i}} является произведением семейства объектов { X i } i ∈ I {displaystyle {X_{i}}_{iin I}} , если для любого объекта Y ∈ C {displaystyle Yin C} и любого семейства морфизмов f i : Y → X i {displaystyle f_{i}colon ,Y o X_{i}} существует единственный морфизм f : Y → X {displaystyle fcolon ,Y o X} , для которого следующая диаграмма:
коммутативна для каждого i ∈ I {displaystyle iin I} (то есть π i ∘ f = f i {displaystyle pi _{i}circ f=f_{i}} ). Морфизмы π i {displaystyle pi _{i}} называются каноническими проекциями.
Приведенное определение равносильно следующему:
Объект X {displaystyle X} вместе с семейством проекций { π i } i ∈ I {displaystyle {pi _{i}}_{iin I}} является произведением семейства объектов { X i } i ∈ I {displaystyle {X_{i}}_{iin I}} тогда и только тогда, когда для любого объекта Y ∈ C {displaystyle Yin C} отображение
H o m C ( Y , X ) → ∏ i ∈ I H o m C ( Y , X i ) , f ↦ ∏ i ∈ I ( π i ∘ f ) {displaystyle mathrm {Hom} _{C}(Y,X) ightarrow prod _{iin I}mathrm {Hom} _{C}(Y,X_{i}),;fmapsto prod _{iin I}(pi _{i}circ f)}биективно.
Произведение двух объектов обычно обозначают X 1 × X 2 {displaystyle X_{1} imes X_{2}} , при этом диаграмма принимает вид
Морфизм f {displaystyle f} при этом иногда обозначается ⟨ f 1 , f 2 ⟩ {displaystyle langle f_{1},f_{2} angle } .
Единственность результата операции ⟨ − , − ⟩ {displaystyle langle -,- angle } можно альтернативно выразить как равенство ⟨ π 1 ∘ h , π 2 ∘ h ⟩ = h {displaystyle langle pi _{1}circ h,pi _{2}circ h angle =h} , верное для любых h {displaystyle h} .
Примеры
- В категории множеств категорное произведение совпадает с декартовым.
- В категории топологических пространств произведению пространств соответствует пространство, носитель которого является декартовым произведением носителей сомножителей, а топология определяется как произведение их топологий.
- В категории групп произведение групп определяется как их прямое произведение.
- В категории проективных многообразий категорное произведение можно задать при помощи вложения Сегре.
- Частично упорядоченное множество может рассматриваться как категория, в которой морфизм из a {displaystyle a} в b {displaystyle b} существует тогда и только тогда (по определению), когда a ⩾ b {displaystyle ageqslant b} (причём между двумя объектами не может быть более одного морфизма). При этом произведением семейства линейно упорядоченных объектов является их наибольшая нижняя грань, а копроизведением — наименьшая верхняя грань.
Свойства
- Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма.
- Коммутативность: a × b ≃ b × a . {displaystyle a imes bsimeq b imes a.}
- Ассоциативность: ( a × b ) × c ≃ a × ( b × c ) {displaystyle (a imes b) imes csimeq a imes (b imes c)}
- Если в категории существует терминальный объект 1 {displaystyle 1} , то a × 1 ≃ 1 × a ≃ a . {displaystyle a imes 1simeq 1 imes asimeq a.}
- Приведённые выше свойства формально сходны со свойствами коммутативного моноида. Более точно, категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричной моноидальной категорией.
Дистрибутивность
В общем случае существует канонический морфизм X × Y + X × Z → X × ( Y + Z ) {displaystyle X imes Y+X imes Z o X imes (Y+Z)} , где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:
Свойство универсальности для X × ( Y + Z ) {displaystyle X imes (Y+Z)} гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.
Матрица преобразований
Любой морфизм
f : ⨁ i ∈ I a i → ⨂ j ∈ J b j {displaystyle fcolon igoplus _{iin I}a_{i} o igotimes _{jin J}b_{j}}порождает множество морфизмов
f i j : a i → b j {displaystyle f_{ij}colon a_{i} o b_{j}}задаваемых по правилу f i j = π j ∘ f ∘ ı i {displaystyle f_{ij}=pi _{j}circ fcirc imath _{i}} и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования f i j : a i → b j {displaystyle f_{ij}colon a_{i} o b_{j}} задаёт единственный соответствующий морфизм f : ⨁ i ∈ I a i → ⨂ j ∈ J b j . {displaystyle scriptstyle fcolon igoplus _{iin I}a_{i} o igotimes _{jin J}b_{j}.} Если в категории существует нулевой объект 0 , {displaystyle 0,} то для любых двух объектов x , y {displaystyle x,y} существует канонический нулевой морфизм: 0 x y : x → 0 → y . {displaystyle 0_{xy}:x o 0 o y.} В этом случае матрица преобразования f : ⨁ i ∈ I a i → ⨂ i ∈ I a i {displaystyle scriptstyle fcolon igoplus _{iin I}a_{i} o igotimes _{iin I}a_{i}} , задаваемая по правилу
f i j = { 0 a j a i , i ≠ j i d a i , i = j {displaystyle f_{ij}=left{{egin{matrix}0_{a_{j}a_{i}},~i eq jmathrm {id} _{a_{i}},~i=jend{matrix}} ight.}называется единичной матрицей.
ПримерВ категории конечномерных векторных пространств V e c t f {displaystyle {mathcal {V}}ect_{f}} копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное определение матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных, а также и в прямое произведение одномерных. Различие состоит в том, что в категорном определении элементы матрицы — это преобразования одномерного пространства в одномерное, тогда как в обычном определении в этих одномерных пространствах выбраны базисы и можно указывать только координату образа базисного вектора пространства-прообраза в базисе пространства-образа.