Абелева категория

Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми.

Определение

Предаддитивная категория является абелевой, если:

в ней существует нулевой объект,
существуют все бинарные произведения и копроизведения,
существуют все ядра и коядра,
все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

Это определение эквивалентно следующему определению «по частям»: предаддитивная категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

Важно, что наличие структуры абелевых групп на множествах морфизмов является следствием четырёх свойств из первого определения. Это подчёркивает фундаментальную роль категории абелевых групп в данной теории.

Примеры

Категория абелевых групп является абелевой. Категория конечнопорождённых абелевых групп также абелева, как и категория конечных абелевых групп.
Если R {displaystyle R} — кольцо, то категория левых (или правых) модулей над R {displaystyle R} абелева. Согласно теореме Фрейда — Митчелла о вложении, любая абелева категория эквивалентна полной подкатегории категории модулей.
Если R {displaystyle R} — кольцо, нётеровое слева, то категория конечнопорождённых левых R {displaystyle R} -модулей является абелевой. В частности, категория конечнопорождённых модулей над нётеровым коммутативным кольцом абелева.
Если X {displaystyle X} — топологическое пространство, то категория пучков абелевых групп на X {displaystyle X} абелева.

Аксиомы Гротендика

В статье Sur quelques points d’algèbre homologique Гротендик предложил несколько дополнительных аксиом, которые могут выполняться в абелевой категории A {displaystyle {mathcal {A}}} .

AB3) Для любого множества объектов ( A i ) i ∈ I {displaystyle (A_{i})_{iin I}} категории A {displaystyle {mathcal {A}}} существует копроизведение ⊕ A i {displaystyle oplus A_{i}} . Данная аксиома эквивалентна кополноте абелевой категории A {displaystyle {mathcal {A}}} .
AB4) A {displaystyle {mathcal {A}}} удовлетворяет аксиоме AB3) и копроизведение любого семейства мономорфизмов является мономорфизмом (то есть копроизведение является точным функтором).
AB5) A {displaystyle {mathcal {A}}} удовлетворяет аксиоме AB3) и фильтрованные копределы точных последовательностей точны. Эквивалентно, для любой решётки ( A i ) i ∈ I {displaystyle (A_{i})_{iin I}} подобъектов объекта A {displaystyle A} и любого B {displaystyle B} — подобъекта объекта A {displaystyle A} верно, что ∑ ( A i ∩ B ) = ∑ ( A i ) ∩ B . {displaystyle sum (A_{i}cap B)=sum (A_{i})cap B.}

Аксиомы AB3*), AB4*) и AB5*) получаются из приведённых выше аксиом как двойственные им (то есть заменой копределов на пределы). Аксиомы AB1) и AB2) - стандартные аксиомы, которые выполняются в любой абелевой категории (более точно, абелева категория определяется как аддитивная категория, удовлетворяющая этим аксиомам):

AB1) У любого морфизма существует ядро и коядро.
AB2) Для любого морфизма f : A → B {displaystyle f:A o B} канонический морфизм из c o i m f {displaystyle mathrm {coim} f} в i m f {displaystyle mathrm {im} f} является изоморфизмом. (Здесь c o i m f = A / k e r f {displaystyle mathrm {coim} f=A/mathrm {ker} f} ).

Гротендик также формулирует более сильные аксиомы AB6) и AB6*), однако не использует их в этой работе.

История

Понятие абелевой категории было предложено Буксбаумом в 1955 году (он использовал название «точная категория») и Гротендиком в 1957 году. В то время существовала теория когомологий пучков на алгебраических многообразиях и теория когомологий групп. Эти теории определялись различно, но имели сходные свойства. Гротендику удалось объединить эти теории; обе они могут быть определены при помощи производных функторов на абелевой категории пучков и абелевой категории модулей соответственно.