Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




13.02.2021


07.02.2021


24.01.2021


24.01.2021


24.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Теорема о равнобедренном треугольнике

Теорема о равнобедренном треугольнике

29.03.2021

Теорема о равнобедренном треугольнике — классическая теорема геометрии, утверждающая, что углы, противолежащие боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны. Эта теорема появляется как предложение 5 книги 1 «Начал» Евклида.

Справедливо и обратное утверждение: если два угла невырожденного треугольника равны, то стороны, противоположные им, также равны. Теорема справедлива в абсолютной геометрии, а значит и в геометрии Лобачевского, она выполняется также в сферической геометрии.

Pons asinorum

Чертёж в доказательстве Евклида

Эту теорему, как и (реже) Теорему Пифагора, иногда называют лат. pons asinorum({ref=la}}, [ˈpons asiˈnoːrʊm]) — «мост ослов». Словосочетание известно с 1645 г.

Существуют два возможных объяснения такого названия. Одно состоит в том, что чертёж, используемый в доказательстве Евклида напоминал мост. Другое объяснение в том, что это первое серьёзное доказательство в «Началах» Евклида — «ослы» его осилить не могут.

Доказательства

Евклида и Прокла

Евклид доказывает дополнительно, что если боковые стороны треугольника продолжить за основание, то углы между продолжениями и основанием тоже равны. То есть, ∡ C B F = ∡ B C G {displaystyle measuredangle CBF=measuredangle BCG} на чертеже к доказательству Евклида.

Прокл указывает на то, что Евклид никогда не использует это дополнительное утверждение и его доказательство можно немного упростить, проведя вспомогательные отрезки к боковым сторонам треугольника, а не к их продолжениям. Остальная часть доказательства, проходит почти без изменений. Прокл, предположил, что второй вывод может быть использован как обоснование в доказательстве последующего предложения, где Евклид не рассмотрел все случаи.

Доказательство опирается на предыдущее предложение в «Началах» — на то, что сегодня называют признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Доказательство Прокла

Пусть △ A B C {displaystyle riangle ABC} — равнобедренный треугольник с равными сторонами A B {displaystyle AB} и A C {displaystyle AC} . Отметим произвольную точку D {displaystyle D} на стороне A B {displaystyle AB} и построим точку E {displaystyle E} на стороне A C {displaystyle AC} так, что A D = A E {displaystyle AD=AE} . Проведём отрезки D C {displaystyle DC} , B E {displaystyle BE} и D E {displaystyle DE} . Поскольку A D = A E {displaystyle AD=AE} , A B = A C {displaystyle AB=AC} и угол ∠ A {displaystyle angle A} общий, по равенству двух сторон и угла между ними, △ B A E ≅ △ C A D {displaystyle riangle BAEcong riangle CAD} , а значит равны их соответствующие стороны и углы. Отсюда угол ∡ A B E = ∡ A C D {displaystyle measuredangle ABE=measuredangle ACD} и ∡ A E B = ∡ A D C {displaystyle measuredangle AEB=measuredangle ADC} и B E = C D {displaystyle BE=CD} . Поскольку A B = A C {displaystyle AB=AC} и A D = A E {displaystyle AD=AE} , вычитания из равных частей равные получаем B D = C E {displaystyle BD=CE} . Применяя вновь признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, получаем, что △ D B E ≅ △ E C D {displaystyle riangle DBEcong riangle ECD} . Отсюда ∡ B D E = ∡ C E D {displaystyle measuredangle BDE=measuredangle CED} и ∡ B E D = ∡ C D E {displaystyle measuredangle BED=measuredangle CDE} . Вычитания из равных частей равные получаем ∡ B D C = ∡ C E B {displaystyle measuredangle BDC=measuredangle CEB} . Вновь по тому же признаку, получаем, что △ B D C ≅ △ C E B {displaystyle riangle BDCcong riangle CEB} . Следовательно ∡ B = ∡ C {displaystyle measuredangle B=measuredangle C} .■

Папп

Прокл также приводит очень короткое доказательство, приписываемое Паппу. Оно проще и не требует дополнительных построений. В доказательстве применяется признак равенства по двум сторонам и углу между ними к треугольнику и его зеркальному отражению.

Доказательство Паппа

Пусть △ A B C {displaystyle riangle ABC} — равнобедренный треугольник с равными сторонами A B {displaystyle AB} и A C {displaystyle AC} . Поскольку угол ∠ A {displaystyle angle A} общий A B = A C {displaystyle AB=AC} по двум сторонам и углу между ними △ A B C ≅ △ A C B {displaystyle riangle ABCcong riangle ACB} . В частности, ∡ B = ∡ C {displaystyle measuredangle B=measuredangle C} .■

Другие

Доказательство Паппа иногда сбивает учеников тем, что нужно сравнивать треугольник «с самим собой». Поэтому, часто в учебниках даётся следующее более длинное доказательство. Оно проще чем доказательство Евклида, но использует понятие биссектрисы. В «Началах» построение биссектрисы угла приводится только в предложении 9. Поэтому порядок изложения приходится менять, чтобы избежать возможности кругового рассуждения.

Доказательство

Пусть △ A B C {displaystyle riangle ABC} — равнобедренный треугольник с равными сторонами A B {displaystyle AB} и A C {displaystyle AC} . Проведём биссектрису угла ∠ A {displaystyle angle A} . Пусть X {displaystyle X} — точка пересечения биссектрисы со стороной B C {displaystyle BC} . Заметим, что △ B A X ≅ △ C A X {displaystyle riangle BAXcong riangle CAX} поскольку ∡ B A X = ∡ C A X {displaystyle measuredangle BAX=measuredangle CAX} , A B = A C {displaystyle AB=AC} и A X {displaystyle AX} общая сторона. Значит ∡ B = ∡ C {displaystyle measuredangle B=measuredangle C} .■

Лежандр использует подобные конструкции в своих «Éléments de géométrie», но, принимая X {displaystyle X} как середину B C {displaystyle BC} . Доказательство аналогично, но использует признак равенства треугольников по трём сторонам.