Случайное компактное множество

Случайное компактное множество — это случайная величина со значениями в компактных множествах. Случайные компактные множества используются при изучении аттракторов случайных динамических систем.

Определение

Пусть K {displaystyle {mathcal {K}}} — множество всех компактных подмножеств R 2 {displaystyle mathbb {R} ^{2}} . На K {displaystyle {mathcal {K}}} можно определить метрику Хаусдорфа h {displaystyle h} :

h ( K 1 , K 2 ) = inf { ε > 0 : K 1 ⊆ K 2 ⨁ B ( 0 , ε ) , K 2 ⊆ K 1 ⨁ B ( 0 , ε ) } . {displaystyle h(K_{1},K_{2})=inf left{varepsilon >0:K_{1}subseteq K_{2}igoplus B(0,varepsilon ),K_{2}subseteq K_{1}igoplus B(0,varepsilon ) ight}.}

С такой метрикой h {displaystyle h} множество K {displaystyle {mathcal {K}}} становится полным сепарабельным метрическим пространством. Соответствующие открытые подмножества порождают борелевскую σ {displaystyle sigma } -алгебру B K {displaystyle {mathfrak {B}}_{K}} множества K {displaystyle {mathcal {K}}} .

Тогда случайное компактное множество — это измеримая функция из некоторого вероятностного пространства ( Ω , F , P ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbf {P} )} в измеримое пространство ( K , B K ) {displaystyle ({mathcal {K}},{mathfrak {B}}_{K})} . Случайные компактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона. Следовательно, их распределение задается вероятностями

P ( X ∩ K = ∅ ) ,       K ∈ K . {displaystyle mathbf {P} (Xcap K=emptyset ), Kin {mathcal {K}}.}

Распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения P ( X ⊂ K ) . {displaystyle mathbf {P} (Xsubset K).}

Связанные определения

• Для K = { x } {displaystyle K={x}} определена вероятность P ( x ∈ X ) {displaystyle mathbf {P} (xin X)} , которая удовлетворяет соотношению P ( x ∈ X ) = 1 − P ( x ∉ X ) . {displaystyle mathbf {P} (xin X)=1-mathbf {P} (x ot in X).} Тогда можно задать функцию покрытия p X {displaystyle p_{X}} формулой p X ( x ) = P ( x ∈ X ) , x ∈ R 2 . {displaystyle p_{X}(x)=mathbf {P} (xin X),;xin mathbb {R} ^{2}.} Функция покрытия принимает значения между 0 {displaystyle 0} и 1 {displaystyle 1} и может интерпретироваться как математическое ожидание индикаторной функции 1 X ( x ) : {displaystyle mathbf {1} _{X}(x):} p X ( x ) = E 1 X ( x ) . {displaystyle p_{X}(x)=mathbf {E} mathbf {1} _{X}(x).}

• Множество b X {displaystyle b_{X}} всех x ∈ R 2 {displaystyle xin mathbb {R} ^{2}} с p X ( x ) > 0 {displaystyle p_{X}(x)>0} называется базой X . {displaystyle X.}

• Множество k X {displaystyle k_{X}} всех x ∈ R 2 {displaystyle xin mathbb {R} ^{2}} с p X ( x ) = 1 {displaystyle p_{X}(x)=1} называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом e ( X ) {displaystyle e(X)} . Если X 1 , X 2 , … {displaystyle X_{1},X_{2},ldots } — это последовательность независимых одинаково распределенных случайных компактных множеств, то почти наверное ⋂ i = 1 ∞ X i = e ( X ) {displaystyle igcap _{i=1}^{infty }X_{i}=e(X)} и ⋂ i = 1 ∞ X i {displaystyle igcap _{i=1}^{infty }X_{i}} сходится почти наверное к e ( X ) . {displaystyle e(X).}