Поверхностные акустические волны в пьезоэлектриках

Поверхностные акустические волны в пьезоэлектриках — упругие волны распространяющиеся около поверхности пьезоэлектрика (релеевские волны) или в тонких пьезоэлектрических плёнках (лэмбовские волны наблюдаются, когда толщина подложки сравнима с длиной волны), сопровождающиеся модуляцией электрического поля для пьезоэлектрически активных направлений. Движение частиц среды при обоих типах волн эллиптическое. Амплитуда релеевских волн спадает при удалении от поверхности и её можно рассматривать как затухающую волну. Метод генерации ПАВ в пьезоэлектриках с помощью встречно-гребёнчатого преобразователя предложен в 1965 году, что позволило найти широкое применение в обработке высокочастотных сигналов, линиях задержки, сенсорах и, в последнее время, для манипулирования частицами в микроканалах.

Теоретические основания

В линейной среде акустические волны полностью характеризуются уравнениями для смещений частиц Ui и потенциалом φ:

где Tij, Sij — тензоры напряжений и деформаций; E, D — векторы напряженности и индукции электрического поля; Cijkl, eijk, εij — тензоры модулей упругости (этот тензор симметричен по последней паре индексов), пьезомодулей и диэлектрической проницаемости соответственно; ρ — плотность среды. По повторяющимся индексам производится суммирование. Тензор модулей упругости задан при постоянном электрическом поле, а тензор диэлектрической проницаемости при постоянной деформации. Если пьезоэлектрик не содержит свободных зарядов, то его можно считать диэлектриком и для него выполняется закон Гаусса для индукции электрического поля:

Собственные полупроводники при достаточно низкой температуре удовлетворяют этому условию. Из вышеприведённой системы уравнений можно получить уравнения для акустических волн в пьезоэлектрике

Данные уравнения с граничными условиями полностью определяют задачу. При отсутствии пьезоэффекта решения уравнения (3.1) представляют собой упругие волны в анизотропной линейной среде.

Парциальные волны

Ищем решение уравнений (3.1) и (3.2) в виде плоских волн распространяющихся в направлении x1 и затухающие в направлении x3:

Подставляя эти решения в волновые уравнения получим систему уравнений на амплитуды

где элементы выражаются как

Чтобы нетривиальное решение уравнений существовало, нужно чтобы детерминант системы (5.1) был равен нулю. Это условие задаёт уравнение 8-й степени относительно b. Выбирая только решения в нижней комплексной мы найдём полное решение волновых уравнений:

где неизвестные коэффициенты Cm находятся из граничных условий заданных на поверхности пьезоэлектрика: условия ненагруженной поверхности T33=T31=T32=0 и непрерывности нормальной компоненты вектора электрической индукции D3. Для граничных условий (показан m-ый столбец) получим систему уравнений:

Из равенства детерминанта системы нулю находят фазовую скорость волны.

Симметрия кристаллов

Используя нотацию Фойгта тензор модулей упругости можно переписать в виде симметричной матрицы 6×6, которая имеет в общем случае 21 линейно независимую компоненту. Для кристаллов кубической симметрии (кремний, арсенид галлия), где координатная система совпадает с осями кристаллической решётки есть только три независимые компоненты:

( c 11 c 12 c 12 0 0 0 c 12 c 11 c 12 0 0 0 c 12 c 12 c 11 0 0 0 0 0 0 c 44 0 0 0 0 0 0 c 44 0 0 0 0 0 0 c 44 ) {displaystyle {egin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{12}&0&0&0c_{12}&c_{11}&c_{12}&0&0&0c_{12}&c_{12}&c_{11}&0&0&0&0&0&c_{44}&0&0&0&0&0&c_{44}&0&0&0&0&0&c_{44}end{pmatrix}}}

Для кристаллов гексогональной симметрии (сульфид кадмия, окись цинка), где ось x3 совпадает с осью Z кристалла существует пять независимых компонент:

( c 11 c 12 c 13 0 0 0 c 12 c 11 c 13 0 0 0 c 13 c 13 c 33 0 0 0 0 0 0 c 44 0 0 0 0 0 0 c 44 0 0 0 0 0 0 1 / 2 ( c 11 − c 12 ) ) {displaystyle {egin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&0&0c_{12}&c_{11}&c_{13}&0&0&0c_{13}&c_{13}&c_{33}&0&0&0&0&0&c_{44}&0&0&0&0&0&c_{44}&0&0&0&0&0&1/2(c_{11}-c_{12})end{pmatrix}}}

Для кристаллов тригональной симметрии (классы 32, 3m, 3 ¯ m {displaystyle {overline {3}}m} ), выделяют шесть независимых компонент:

( c 11 c 12 c 13 c 14 0 0 c 12 c 11 c 13 c 14 0 0 c 13 c 13 c 33 0 0 0 c 14 c 14 0 c 44 0 0 0 0 0 0 c 44 c 14 0 0 0 0 c 14 1 / 2 ( c 11 − c 12 ) ) {displaystyle {egin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&0&0c_{12}&c_{11}&c_{13}&c_{14}&0&0c_{13}&c_{13}&c_{33}&0&0&0c_{14}&c_{14}&0&c_{44}&0&0&0&0&0&c_{44}&c_{14}&0&0&0&c_{14}&1/2(c_{11}-c_{12})end{pmatrix}}}

К этому классу относятся важные пьезоэлектрики такие как кварц, ниобат лития.

Тензор пьезоэлектрических постоянных в нотации Фойгта (последняя пара индексов заменяется) для кубической сингонии (классы 23 и 4 3 ¯ m {displaystyle 4{overline {3}}m} ) имеют одну независимую компоненту

( 0 0 0 e 14 0 0 0 0 0 0 e 14 0 0 0 0 0 0 e 14 ) {displaystyle {egin{pmatrix}0&0&0&e_{14}&0&0&0&0&0&e_{14}&0&0&0&0&0&e_{14}end{pmatrix}}}

Для кристаллов с гексогональной симметрией (точечная группа 6mm, поляризованная керамика по оси x3) — три компоненты:

( 0 0 0 0 e 15 0 0 0 0 e 15 0 0 e 31 e 31 e 33 0 0 0 ) {displaystyle {egin{pmatrix}0&0&0&0&e_{15}&0&0&0&e_{15}&0&0e_{31}&e_{31}&e_{33}&0&0&0end{pmatrix}}}

Для точечной группы 32 (тригональная сингония) две компоненты:

( e 11 − e 11 0 e 14 0 0 0 0 0 0 − e 14 − e 11 0 0 0 0 0 0 ) {displaystyle {egin{pmatrix}e_{11}&-e_{11}&0&e_{14}&0&0&0&0&0&-e_{14}&-e_{11}&0&0&0&0&0end{pmatrix}}}

а для точечной группы 3m — четыре:

( 0 0 0 0 e 15 − e 22 − e 22 e 22 0 e 15 0 0 e 31 e 31 e 33 0 0 0 ) {displaystyle {egin{pmatrix}0&0&0&0&e_{15}&-e_{22}-e_{22}&e_{22}&0&e_{15}&0&0e_{31}&e_{31}&e_{33}&0&0&0end{pmatrix}}}

Тензор диэлектрических постоянных также зависит от направления в кристалле для групп 3m, 32, 6mm, 3 ¯ m {displaystyle {overline {3}}m} и ε33≠ε11=ε22. Для классов 23, 4 3 ¯ m {displaystyle 4{overline {3}}m} , m3m: ε33=ε11=ε22.

Взаимодействие ПАВ в пьезоэлектрике с ДЭГ

Рассмотрим простейший одномерный случай и, отбрасывая индексы, перепишем систему уравнений (1) в виде:

Эта систему уравнений приводит к волновому уравнению для сдвига

В случае если пьезоэлектрик окажется хорошим проводником, то продольные звуковые волны (скорость v 0 = c / ρ {displaystyle v_{0}={sqrt {c/ ho }}} ) не будут пьезоэлектрическими, а если — диэлектриком, то скорость волны станет v = ( 1 + e 2 / c ε ) c / ρ {displaystyle v={sqrt {(1+e^{2}/cvarepsilon )c/ ho }}} . Коэффициент K 2 = e 2 / c ε {displaystyle K^{2}=e^{2}/cvarepsilon } называется коэффициент электромеханической связи и принимает значения меньше 0,05 (для поверхности (100) GaAs в направлении [011] K²eff=6.4×10−4). Если в GaAs сформирован ДЭГ с проводимостью σ, то электрическое поле акустической волны приводит к потерям энергии из-за омических потерь. Коэффициент затухания Γ и изменение скорости пьезоакустической волны с частотой ω равны соответственно:

где λ — длина волны, σM=v0(1+ε). Здесь расстояние до ДЭГ от поверхности много меньше длины волны. В более общем случае изменение скорости и затухание связаны соотношением:

где vs — скорость акустической волны для идеального проводника, q — волновой вектор, а коэффициенты α и σM зависят от материальных параметров. Отсюда видно, что взаимодействие ПАВ с ДЭГ зависит от продольной компоненты терзора проводимости, определяя бесконтактный метод его измерения.

Из-за наличия затухания часть импульса волны передаётся ДЭГ, приводя к возникновению акустоэлектрического тока (если цепь замкнута). Связь затухания и фазового сдвига с проводимостью благодаря взаимодействию ПАВ в пьезоэлектрике с ДЭГ изучалась в присутствии перпердикулярного магнитного поля в режиме целочисленного квантового эффекта Холла и дробного квантового эффекта Холла

Усиление ПАВ в полупроводниках с пьезоэлектрическими свойствами

Система уравнений для одномерного случая (8) в полупроводниках n-типа с пьезоэлектрическими свойствами следует дополнить уравнениями для полного тока (включает дрейфовую и диффузионную части)

уравнением непрерывности

и теоремой Гаусса

Здесь μ — подвижность, q — элементарный заряд, Dn — коэффициент диффузии, концентрация электронов nc состоит из постоянной части n0 и меняющейся во времени вклада ns из-за действия электрического поля акустической волны. Помимо переменного электрического поля E1ejkx-jωt действует постоянное поле E0.

Коэффициент затухания в этом случае равен

где ω c = σ / ε {displaystyle omega _{c}=sigma /varepsilon } , ω D = v 0 2 / D {displaystyle omega _{D}=v_{0}^{2}/D} , γ = 1 − μ E 0 / v 0 = 1 − v d / v 0 {displaystyle gamma =1-mu E_{0}/v_{0}=1-v_{d}/v_{0}} . Если дрейфовая скорость vd электронов больше скорости волны то γ меняет знак и, соответственно, вместо затухания происходит усиление поверхностной акустической волны.

Адиабатический транспорт в одномерных каналах

Взаимодействие ПАВ в пьезоэлектрике с ДЭГ можно распространить на одномерные каналы, а именно сформированные с помощью латеральных затворов на поверхности GaAs. Бегущая ПАВ благодаря электрическому полю может создавать движущуюся потенциальную яму для отдельного электрона (которую можно представить как квантовую точку) в перекрытом одномерном канале, то есть индуцировать проводимость. Благодаря кулоновской блокаде за один период переносится один электрон, и результирующий ток определяется только частотой сигнала f и зарядом электрона:

I = f e . {displaystyle I=fe.}

Такая простая формула открывает возможность использовать транспорт в квази-одномерных каналах в качестве эталона силы тока.

Применение

Датчики на поверхностных акустических волнах, линии задержки.