Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




13.02.2021


07.02.2021


24.01.2021


24.01.2021


24.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Торический узел

Торический узел

29.05.2021

Торический узел — специальный вид узлов, лежащих на поверхности незаузлённого тора в R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} .

Торическое зацепление — зацепление, лежащее на поверхности тора. Каждый торический узел определяется парой взаимно простых целых чисел p {displaystyle p} и q {displaystyle q} . Торическое зацепление возникает, когда p {displaystyle p} и q {displaystyle q} не взаимно просты (в этом случае число компонент равно наибольшему общему делителю p {displaystyle p} и q {displaystyle q} ). Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо p {displaystyle p} , либо q {displaystyle q} равны 1 или −1. Простейшим нетривиальным примером является (2,3)-торический узел, известный также как трилистник.

Геометрическое представление

Торический узел можно представить геометрически различными способами, топологически эквивалентными, но геометрически различными.

Обычно используется соглашение, что ( p , q ) {displaystyle (p,q)} -торический узел вращается q {displaystyle q} раз вокруг круговой оси тора и p {displaystyle p} раз вокруг оси вращения тора. Если p {displaystyle p} и q {displaystyle q} не взаимно просты, то получается торическое зацепление, имеющее более одной компоненты. Соглашения о направлении, в котором нити вращаются вокруг тора, также различны, чаще всего предполагается правый винт для p q > 0 {displaystyle pq>0} .

( p , q ) {displaystyle (p,q)} -торический узел может быть задан параметризацией:

x = r {displaystyle x=r} cos ⁡ ( p ϕ ) {displaystyle cos(pphi )} , y = r {displaystyle y=r} sin ⁡ ( p ϕ ) {displaystyle sin(pphi )} , z = − sin ⁡ ( q ϕ ) {displaystyle z=-sin(qphi )} ,

где r = cos ⁡ ( q ϕ ) + 2 {displaystyle r=cos(qphi )+2} и 0 < ϕ < 2 π {displaystyle 0<phi <2pi } . Он лежит на поверхности тора, задаваемого формулой ( r − 2 ) 2 + z 2 = 1 {displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1} (в цилиндрических координатах).

Возможны и другие параметризации, поскольку узлы определены с точностью до непрерывной деформации. Примеры для (2,3)- и (3,8)-торических узлов можно получить, приняв r = cos ⁡ ( q ϕ ) + 4 {displaystyle r=cos(qphi )+4} , а в случае (2,3)-торического узла путём вычитания 3 cos ⁡ ( ( p − q ) ϕ ) {displaystyle 3cos((p-q)phi )} и 3 sin ⁡ ( ( p − q ) ϕ ) {displaystyle 3sin((p-q)phi )} из вышеприведённых параметризаций x {displaystyle x} и y {displaystyle y} .

Свойства

Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо p {displaystyle p} , либо q {displaystyle q} равны 1 или −1.

Каждый нетривиальный торический узел является простым и хиральными.

( p , q ) {displaystyle (p,q)} -торический узел эквивалентен ( q , p ) {displaystyle (q,p)} -торическому узлу. ( p , − q ) {displaystyle (p,-q)} -торический узел является обратным (зеркальным отражением) ( p , q ) {displaystyle (p,q)} -торического узла. ( − p , − q ) {displaystyle (-p,-q)} -торический узел эквивалентен ( p , q ) {displaystyle (p,q)} -торическому узлу, за исключением ориентации.

Любой ( p , q ) {displaystyle (p,q)} -торический узел может быть построен из замкнутой косы с p {displaystyle p} нитями. Подходящее слово косы:

( σ 1 σ 2 ⋯ σ p − 1 ) q {displaystyle (sigma _{1}sigma _{2}cdots sigma _{p-1})^{q}} .

Эта формула использует соглашение, что генераторы косы используют правые вращения.

Число пересечений ( p , q ) {displaystyle (p,q)} -торического узла с p , q > 0 {displaystyle p,q>0} задаётся формулой:

c = min ( ( p − 1 ) q , ( q − 1 ) p ) {displaystyle c=min((p-1)q,(q-1)p)} .

Род торического узла с p , q > 0 {displaystyle p,q>0} равен:

g = 1 2 ( p − 1 ) ( q − 1 ) . {displaystyle g={frac {1}{2}}(p-1)(q-1).}

Многочлен Александера торического узла равен:

( t p q − 1 ) ( t − 1 ) ( t p − 1 ) ( t q − 1 ) {displaystyle {frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}}} .

Полином Джонса (правовинтовой) торического узла задаётся формулой:

t ( p − 1 ) ( q − 1 ) / 2 1 − t p + 1 − t q + 1 + t p + q 1 − t 2 {displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}} .

Дополнение торического узла на 3-сфере — это многообразие Зейферта.

Пусть Y {displaystyle Y} — p {displaystyle p} -мерный дурацкий колпак с диском, удалённым внутри, Z {displaystyle Z} — q {displaystyle q} -мерный дурацкий колпак с внутренним удалённым диском, и X {displaystyle X} — факторпространство, полученное отождествлением Y {displaystyle Y} и Z {displaystyle Z} вдоль границы окружности. Дополнение ( p , q ) {displaystyle (p,q)} - торического узла является деформационным ретрактом пространства X {displaystyle X} . Таким образом, группа узла торического узла имеет представление:

⟨ x , y ∣ x p = y q ⟩ {displaystyle langle x,ymid x^{p}=y^{q} angle } .

Торические узлы — это единственные узлы, чьи группы узла имеют нетривиальные центры (которые являются бесконечными циклическими группами, образованные элементом x p = y q {displaystyle x^{p}=y^{q}} из этого представления).

Список

  • Тривиальный узел, 31-узел (2,3), Узел «Лапчатка» (5,2), 7₁-узел (7,2), 819-узел (4,3), 91-узел (9,2), 10124-узел (5,3).