Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




13.02.2021


07.02.2021


24.01.2021


24.01.2021


24.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Кольцо Эрмана

Кольцо Эрмана

02.06.2021

Кольцо Эрмана — в голоморфной динамике один из типов неподвижной или периодической компоненты связности области Фату. Такая компонента связности топологически эквивалентна кольцу, а динамика отображения (или его итерации первого возвращения, в случае периодической компоненты) должна быть сопряжена иррациональному повороту этого кольца.

Конструкция

Одним из способов построения отображения, одна из компонент множества Фату которого оказывается кольцом Эрмана, основан на рассмотрении произведений Бляшке. А именно, произведения Бляшке — отображения вида

f ( z ) = λ ∏ j = 1 n z − a j 1 − a j ¯ z , | λ | = 1 , | a j | ≠ 1 , {displaystyle f(z)=lambda prod _{j=1}^{n}{frac {z-a_{j}}{1-{ar {a_{j}}}z}},quad |lambda |=1,quad |a_{j}| eq 1,,}

сохраняют единичную окружность { | z | = 1 } {displaystyle {|z|=1}} , и сохраняют ориентацию на ней тогда и только тогда, когда вне единичного диска имеется чётное число точек a j {displaystyle a_{j}} .

Подбором точек a j {displaystyle a_{j}} можно добиться, чтобы ограничение отображения f на эту окружность было диффеоморфизмом с диофантовым числом вращения. Теорема Эрмана-Йоккоза утверждает в таком случае, что f аналитически сопряжено соответствующему повороту. Такое локальное сопряжение далее распространяется до границы содержащей единичную окружность компоненты Фату — оказывающейся, тем самым, кольцом Эрмана.

Примером реализации такой конструкции может служить рациональное отображение степени 3,

f ( z ) = e 2 π i t ⋅ z 2 ( z − 4 ) 1 − 4 z , {displaystyle f(z)=e^{2pi it}cdot {frac {z^{2}(z-4)}{1-4z}},}

где константа t = 0.6151732 … {displaystyle t=0.6151732dots } выбирается так, чтобы число вращения ограничения f на единичную окружность равнялось бы ( 5 − 1 ) / 2 {displaystyle ({sqrt {5}}-1)/2} .