Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




13.02.2021


07.02.2021


24.01.2021


24.01.2021


24.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Функция Доусона

Функция Доусона

19.06.2021

В математике функция Доусона, или интеграл Доусона (названная по имени Генри Гордона Доусона) — неэлементарная функция действительного переменного:

F ( x ) = e − x 2 ∫ 0 x e t 2 d t . {displaystyle F(x)=e^{-x^{2}}int _{0}^{x}e^{t^{2}},dt.}

Свойства

Общие свойства
  • Нечётная функция: F ( − x ) = − F ( x ) {displaystyle F(-x)=-F(x)} .
  • Производная: d d x F ( x ) = 1 − 2 x F ( x ) {displaystyle {frac {d}{dx}}F(x)=1-2xF(x)} .
  • Неопределённый интеграл: ∫ F ( x ) d x = 1 2 x 2 2 F 2 ( 1 , 1 ; 3 2 , 2 ; − x 2 ) {displaystyle int F(x),dx={frac {1}{2}}x^{2}{}_{2}F_{2}left(1,1;{frac {3}{2}},2;-x^{2} ight)} , где 2 F 2 ( a , b ; c , d ; z ) {displaystyle {}_{2}F_{2}left(a,b;c,d;z ight)} - обобщённая гипергеометрическая функция.
  • Является дробной производной обратной экспоненты: D − 1 / 2 e − x = 2 π F ( x ) {displaystyle D^{-1/2}e^{-x}={frac {2}{sqrt {pi }}}F({sqrt {x}})} .
  • Имеет максимум в точке, являющейся решением уравнения 1 − π e − x 2 x e r f i ( x ) = 0 {displaystyle 1-{sqrt {pi }}e^{-x^{2}}x,mathrm {erfi} (x)=0} : F ( 0 , 9241388730 ) = 0 , 541044246 {displaystyle F(0,9241388730)=0,541044246} . Дроби задаются последовательностями цифр последовательность 133841 в OEIS и последовательность 133842 в OEIS.
  • Имеет точку перегиба: F ( 1 , 5019752683 ) = 0 , 4276866160 {displaystyle F(1,5019752683)=0,4276866160} (последовательность 133843 в OEIS).
  • Раскладывается в цепные дроби:
F ( z ) = 1 1 + 2 z 2 3 − 4 z 2 5 + 6 z 2 7 − 8 z 2 9 + ⋯ {displaystyle F(z)={cfrac {1}{1+{cfrac {2z^{2}}{3-{cfrac {4z^{2}}{5+{cfrac {6z^{2}}{7-{cfrac {8z^{2}}{9+cdots }}}}}}}}}}} F ( z ) = z 1 + 2 z 2 − 4 z 2 3 + 2 z 2 − 8 z 2 5 + 2 z 2 − 12 z 2 7 + 2 z 2 − ⋯ {displaystyle F(z)={cfrac {z}{1+2z^{2}-{cfrac {4z^{2}}{3+2z^{2}-{cfrac {8z^{2}}{5+2z^{2}-{cfrac {12z^{2}}{7+2z^{2}-cdots }}}}}}}}} Функция ошибок

Функция Доусона тесно связана с интегралом ошибок erf:

F ( x ) = π 2 e − x 2 e r f i ( x ) = − i π 2 e − x 2 e r f ( i x ) {displaystyle F(x)={{sqrt {pi }} over 2}e^{-x^{2}}mathrm {erfi} (x)=-{i{sqrt {pi }} over 2}e^{-x^{2}}mathrm {erf} (ix)}

где erfi является мнимой частью функции ошибок, erfi(x) = −i erf(ix).

Асимптотика

Для |x|, близких к нулю, F(x) ≈ x, а для |x| больших, F(x) ≈ 1/(2x). Более точно, вблизи начала координат имеет место разложение в ряд:

F ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 2 k ( 2 k + 1 ) ! ! x 2 k + 1 = x − 2 3 x 3 + 4 15 x 5 − ⋯ {displaystyle F(x)=sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k},2^{k}}{(2k+1)!!}},x^{2k+1}=x-{frac {2}{3}}x^{3}+{frac {4}{15}}x^{5}-cdots } F ( x ) = ∑ n = 0 + ∞ ( − 2 ) n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = x − 2 3 x 3 + 4 15 x 5 − … {displaystyle F(x)=sum _{n=0}^{+infty }{frac {(-2)^{n}}{1cdot 3cdot 5cdots (2n+1)}},x^{2n+1}=x-{frac {2}{3}}x^{3}+{frac {4}{15}}x^{5}-dots }

(этот степенной ряд сходится при всех x) и, около + ∞ {displaystyle +infty } , имеется асимптотическое разложение:

F ( x ) = 1 2 x + 1 4 x 3 + 3 8 x 5 + ⋯ + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n − 1 ) 2 n + 1 x 2 n + 1 + o ( x − 2 n − 2 ) {displaystyle F(x)={frac {1}{2x}}+{frac {1}{4x^{3}}}+{frac {3}{8x^{5}}}+dots +{frac {1cdot 3cdot 5cdots (2n-1)}{2^{n+1}x^{2n+1}}}+o(x^{-2n-2})}

(которое, напротив, для всех x представляет собой расходящийся ряд).

Альтернативное определение

F(x) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

d F d x + 2 x F = 1 {displaystyle {frac {dF}{dx}}+2xF=1}

с начальным условием F (0) = 0.

Обобщения

Иногда используют другое обозначение для функции Доусона: D + ( x ) = e − x 2 ∫ 0 x e t 2 d t {displaystyle D_{+}(x)=e^{-x^{2}}int _{0}^{x}e^{t^{2}},dt} , тогда вводят "симметричную" её в нотации: D − ( x ) = e x 2 ∫ 0 x e − t 2 d t {displaystyle D_{-}(x)=e^{x^{2}}int _{0}^{x}e^{-t^{2}},dt} ; в таких обозначениях:

D + ( x ) = π 2 e − x 2 e r f i ( x ) {displaystyle D_{+}(x)={{sqrt {pi }} over 2}e^{-x^{2}}mathrm {erfi} (x)} и D − ( x ) = π 2 e x 2 e r f ( x ) {displaystyle D_{-}(x)={{sqrt {pi }} over 2}e^{x^{2}}mathrm {erf} (x)} .