Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




13.02.2021


07.02.2021


24.01.2021


24.01.2021


24.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Эндоморфизм Фробениуса

Эндоморфизм Фробениуса

25.06.2021

Эндоморфизм Фробениуса — эндоморфизм коммутативного кольца простой характеристики p {displaystyle p} , задаётся формулой x ↦ x p {displaystyle xmapsto x^{p}} . В некоторых случаях, например, в случае конечного поля, эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом, однако в общем случае это не так.

Определение и базовые свойства

Пусть R {displaystyle R} — коммутативное кольцо простой характеристики p {displaystyle p} (в частности, таким является любое целостное кольцо ненулевой характеристики). Эндоморфизм Фробениуса кольца R {displaystyle R} определяется формулой F ( x ) = x p {displaystyle F(x)=x^{p}} . Эндоморфизм Фробениуса действительно является гомоморфизмом колец, так как ( x y ) p = x p y p , ( x + y ) p = x p + y p {displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p},(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}} (для того, чтобы доказать последнее тождество, достаточно расписать левую часть по формуле бинома Ньютона и заметить, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, делятся на p {displaystyle p} ).

Если φ : R → S {displaystyle varphi :R o S} — произвольный гомоморфизм колец простой характеристики p {displaystyle p} , то φ ( x p ) = ( φ ( x ) ) p {displaystyle varphi (x^{p})=(varphi (x))^{p}} , то есть: φ ∘ F R = F S ∘ φ {displaystyle varphi circ F_{R}=F_{S}circ varphi } .

Это значит, что эндоморфизм Фробениуса является естественным преобразованием тождественного функтора (на категории коммутативных колец характеристики p {displaystyle p} ) в себя.

Если кольцо R {displaystyle R} не содержит нетривиальных нильпотентов, то эндоморфизм Фробениуса инъективен (так как его ядро нулевое). Легко доказать, что верно и обратное: если x {displaystyle x} — нетривиальный нильпотент, обнуляющийся начиная со степени n {displaystyle n} , то ( x n − 1 ) p = 0 {displaystyle (x^{n-1})^{p}=0} . Эндоморфизм Фробениуса не обязательно сюръективен, даже если R {displaystyle R} является полем. Например, пусть R = F p ( t ) {displaystyle R=mathbb {F} _{p}(t)} — поле рациональных функций с коэффициентами в F p {displaystyle mathbb {F} _{p}} , тогда функция t {displaystyle t} не лежит в образе эндоморфизма Фробениуса.

Поле K {displaystyle K} называется совершенным, если его характеристика равна нулю, либо характеристика положительна и эндоморфизм Фробениуса сюръективен (а следовательно, является автоморфизмом). В частности, все конечные поля являются совершенными.

Неподвижные точки

Рассмотрим конечное поле F p {displaystyle mathbb {F} _{p}} . Согласно малой теореме Ферма, все элементы этого поля удовлетворяют уравнению x p = x {displaystyle x^{p}=x} . Уравнение p {displaystyle p} -й степени не может иметь более p {displaystyle p} корней, следовательно, в любом расширении поля F p {displaystyle mathbb {F} _{p}} неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля F p {displaystyle mathbb {F} _{p}} . Аналогичное утверждение верно для целостных колец характеристики p {displaystyle p} .

Сходным свойствам удовлетворяют и степени эндоморфизма Фробениуса. Если F p k {displaystyle mathbb {F} _{p^{k}}} — конечное поле, все его элементы удовлетворяют уравнению x p k = x {displaystyle x^{p^{k}}=x} и в любом расширении этого поля элементы исходного поля являются неподвижными точками k {displaystyle k} -й степени эндоморфизма Фробениуса, то есть неподвижными точками x ↦ x p k {displaystyle xmapsto x^{p^{k}}} .

Порождающий элемент группы Галуа

Группа Галуа конечного расширения конечного поля является циклической и порождается степенью эндоморфизма Фробениуса. Рассмотрим сначала случай, когда основное поле является простым. Пусть F q {displaystyle mathbb {F} _{q}} — конечное поле, где q = p n {displaystyle q=p^{n}} . Эндоморфизм Фробениуса F {displaystyle F} сохраняет элементы простого поля F p {displaystyle mathbb {F} _{p}} , поэтому он является элементом группы Галуа расширения F q ⊃ F p {displaystyle mathbb {F} _{q}supset mathbb {F} _{p}} . Оказывается, что эта группа является циклической и порождается F {displaystyle F} . Порядок этой группы равен n {displaystyle n} , так как эндоморфизм x ↦ x q {displaystyle xmapsto x^{q}} действует на F q {displaystyle mathbb {F} _{q}} тождественно, а меньшие степени не могут действовать тождественно.

В расширении F q k ⊃ F q {displaystyle mathbb {F} _{q^{k}}supset mathbb {F} _{q}} основное поле фиксируется n {displaystyle n} -й степенью эндоморфизма Фробениуса, группа Галуа расширения порождается F n {displaystyle F^{n}} и имеет порядок k {displaystyle k} .

Эндоморфизм Фробениуса для схем