Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




13.02.2021


07.02.2021


24.01.2021


24.01.2021


24.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Майорановский фермион

Майорановский фермион

14.07.2021

В физике элементарных частиц майорановский фермион, или фермион Майораны — это фермион, который является своей собственной античастицей. Существование таких частиц было впервые рассмотрено итальянским физиком Этторе Майораной в 1937 году. В экспериментах с полупроводниковыми нанопроволоками наблюдались квазичастицы, обладающие свойствами майорановского фермиона. Экспериментальное обнаружение майорановских частиц как в физике высоких энергий, так и в области физики твёрдого тела приведёт к важным последствиям для науки в целом.

В физике элементарных частиц

Предполагается, что нейтрино может быть либо фермионом Майораны, либо фермионом Дирака (в Стандартной модели все фермионы, включая нейтрино, являются дираковскими). Экспериментального подтверждения этого всё ещё нет, и теория Майораны, в итоге, может оказаться опровегнутой. В первом случае различие между нейтрино и антинейтрино определяется только их спиральностью: превращение нейтрино в антинейтрино можно осуществить переворотом спина (или, например, переходом в систему отсчёта, в которой импульс нейтрино направлен в противоположном направлении, что, правда, осуществимо лишь при ненулевой массе нейтрино). Если электронное нейтрино является фермионом Майораны и при этом массивно, то некоторые изотопы могут испытывать безнейтринный двойной бета-распад; при существующей чувствительности экспериментов этот распад пока не обнаружен, хотя в мире проводятся десятки экспериментов по поиску этого процесса.

Гипотетические частицы нейтралино в суперсимметричных моделях являются фермионами Майораны. Поэтому открытие майорановских фермионов будет дополнительным аргументом для теорий суперсимметрии.

Майорановские частицы, в отличие от дираковских, не могут обладать магнитным дипольным моментом (кроме недиагональных компонент магнитного момента, изменяющих аромат). Слабое взаимодействие с электромагнитными полями делает майорановские фермионы кандидатами для частиц холодной тёмной материи.

16 июля 2013 года коллаборация GERDA сообщила, что в результате обработки данных первой фазы долговременного эксперимента, проводящегося в итальянской подземной лаборатории Гран-Сассо на криогенном полупроводниковом мультидетекторе, состоящем из германия, обогащённого германием-76, не был обнаружен безнейтринный двойной бета-распад этого изотопа (нижнее ограничение на период полураспада — не менее 3·1025 лет). Это, как и ряд более ранних и менее чувствительных экспериментов, свидетельствует в пользу того, что нейтрино не является майорановской частицей; точнее, ограничивает сверху так называемую майорановскую массу электронного нейтрино, которая для дираковского фермиона должна быть в точности равна нулю. Установленное верхнее ограничение равно приблизительно 0,2—0,4 эВ. В настоящее время ряд как действующих, так и находящихся на стадии планирования и разработки экспериментов по поиску безнейтринного двойного бета-распада нацелен на улучшение инстрементальной чувствительности. Последние доступные данные для оценок снизу для полураспада и оценок сверху для массы приведены в таблице на март 2018 года.

Уравнение Дирака

Математически, фермионы со спином 1/2 описываются уравнением Дирака вида

i ℏ c ∂ t ψ ( x , t ) = [ − i ℏ α ⋅ ∂ x + β m c ] ψ ( x , t ) , {displaystyle i{frac {hbar }{c}}partial _{t}psi (x,t)=[-ihbar {oldsymbol {alpha }}cdot {oldsymbol {partial _{x}}}+eta mc]psi (x,t),}

где m — масса частицы, а матрицы α и β удовлетворяют антикоммутационным соотношениям {αi, αj} = 2δij, {αi, β} = 0, β2 = 1. Так как выбор этих матриц неоднозначен, то их можно выбрать в виде

α 1 = ( 0 σ 1 σ 1 0 ) , α 2 = ( 0 σ 3 σ 3 0 ) , α 3 = ( 1 0 0 − 1 ) , β = ( 0 σ 2 σ 2 0 ) , {displaystyle alpha _{1}={egin{pmatrix}0&sigma _{1}sigma _{1}&0end{pmatrix}},quad alpha _{2}={egin{pmatrix}0&sigma _{3}sigma _{3}&0end{pmatrix}},quad alpha _{3}={egin{pmatrix}1&0&-1end{pmatrix}},quad eta ={egin{pmatrix}0&sigma _{2}sigma _{2}&0end{pmatrix}},}

в котором все коэффициенты мнимые. Тогда уравнение, сопряжённое уравнению Дирака, не меняется:

i ℏ c ∂ t ψ ∗ ( x , t ) = [ − i ℏ α ⋅ ∂ x + β m c ] ψ ∗ ( x , t ) . {displaystyle i{frac {hbar }{c}}partial _{t}psi ^{*}(x,t)=[-ihbar {oldsymbol {alpha }}cdot {oldsymbol {partial _{x}}}+eta mc]psi ^{*}(x,t).}

Решению сопряжённого уравнения Дирака соответствует частица, которая является своей собственной античастицей ( ψ ∗ = ψ {displaystyle psi ^{*}=psi } ) и называется майорановским фермионом. Существует бесконечное множество матриц α {displaystyle {oldsymbol {alpha }}} .

Решениями этого уравнения выступает четырёхкомпонентный спинор, но так как систему из четырёх уравнений Майораны можно привести к виду двух независимых систем (из двух уравнений каждая) с решениями в виде левых ( ψ L {displaystyle psi _{L}} ) и правых ( ψ R {displaystyle psi _{R}} ) майорановских фермионов. Причём массы (mL и mR) в этих новых частицах не обязательно совпадают:

( i ∂ t − p ⋅ σ ) ψ R − i m R σ 2 ψ R ∗ = 0 , {displaystyle (ipartial _{t}-{oldsymbol {p}}cdot {oldsymbol {sigma }})psi _{R}-im_{R}sigma _{2}psi _{R}^{*}=0,} ( i ∂ t + p ⋅ σ ) ψ L − i m L σ 2 ψ L ∗ = 0. {displaystyle (ipartial _{t}+{oldsymbol {p}}cdot {oldsymbol {sigma }})psi _{L}-im_{L}sigma _{2}psi _{L}^{*}=0.}

Эти уравнения можно получить, используя вариационный принцип в общем виде, исходя из лагранжиана электрослабого взаимодействия. Здесь интерес представляет выбор массового слагаемого в ланганжане, вид которого определяет дираковский или майорановский фермионы используются в теории. Раньше такого вопроса не возникало из-за предположения о безмассовости нейтрино. Но открытие нейтринных осцилляций поставило вопрос о конечности масс этих истинно нейтральных фермионов. Если представить, что антинейтино и нейтрино на самом деле одна и та же частица (то есть майорановский фермион), то объяснение большой разницы в массах между нейтрино и другими лептонами может дать механизм качелей. Например, в этом случае, масса ненаблюдаемого экспериментально правого нейтрино велика по сравнению с массой электрона (mD), а масса левого составит малую величину порядка m D 2 / m R {displaystyle m_{D}^{2}/m_{R}} .

В физике твёрдого тела

Если в физике высоких энергий вопрос о существовании или несуществовании майорановских фермионов остаётся открытым, то никаких сомнений в существовании в сверхпроводниках аналогичных элементарных возбуждений, предсказанных теоретически, нет. Вопрос заключается в демонстрации каких-либо связанных с ними наблюдаемых эффектов из-за технических сложностей. Некоторые квазичастицы (различные возбуждения коллективных состояний в твердотельных системах, ведущие себя подобно частицам) могут описываться как майорановские фермионы, причём их существует несколько типов в связи с возможностью выбрать размерность системы. В физике твёрдого тела майорановские фермионы также называются майорановскими состояниями, чтобы отличать их от решения трёхмерного уравнения Майораны. Интерес к таким квазичастицам (предсказанным, но пока не открытым экспериментально) связан с тем, что они теоретически могут использоваться в кубитах для топологического квантового компьютера — например, для сохранения информации, — при этом из-за своей нелокальной природы они менее чувствительны к влиянию среды. В одномерных системах говорят не о майорановских фермионах, а о майорановских локализованных состояниях, которые не перемещаются в системе свободно, благодаря чему сохраняют свои свойства из-за большого времени декогеренции. Возможное экспериментальное обнаружение таких объектов в комбинированных полупроводниковых-сверхпроводниковых наносистемах в сильном магнитном поле требует независимого подтверждения в связи со сложностью детектирования и существованием возможных альтернативных объяснений.

Майорановские фемионы могут существовать в экзотических системах, которые достаточно трудно реализуются на практике, например в p-волновых сверхпроводниках, полупроводниках в режиме дробного квантового эффекта Холла с фактором заполнением 5/2, на поверхности топологических изоляторов с использованием эффекта близости от s-волновых сверхпроводников, либо используя эффект близости между сверхпроводником и ферромагнетиком. С другой стороны, в 2010 году опубликовали две статьи, которые показали, как создать майорановские фермионы в полупроводниковых нанопроволоках.

Игрушечная модель Китаева

Алексей Китаев предложил рассмотреть гамильтониан бесспинового p-волнового сверхпроводника в терминах вторичного квантования

H K = ∑ j = 1 N ( − t ( a j † a j + 1 + a j + 1 † a j ) − μ ( a j † a j − 1 2 ) + Δ e i θ a j a j + 1 + Δ e − i θ a j + 1 † a j † ) , {displaystyle H_{K}=sum _{j=1}^{N}left(-t(a_{j}^{dagger }a_{j+1}+a_{j+1}^{dagger }a_{j})-mu left(a_{j}^{dagger }a_{j}-{frac {1}{2}} ight)+Delta e^{i heta }a_{j}a_{j+1}+Delta e^{-i heta }a_{j+1}^{dagger }a_{j}^{dagger } ight),,}

где t — интеграл перескока, μ — химический потенциал, Δ и θ — амплитуда и фаза параметра порядка. Можно ввести следующие майорановские фермионные операторы для этой задачи c 2 j − 1 = e i θ / 2 a j + e − i θ / 2 a j † {displaystyle c_{2j-1}=e^{i heta /2}a_{j}+e^{-i heta /2}a_{j}^{dagger }} и c 2 j = − i ( e i θ / 2 a j − e − i θ / 2 a j † ) {displaystyle c_{2j}=-ileft(e^{i heta /2}a_{j}-e^{-i heta /2}a_{j}^{dagger } ight)} , которые приводят к новому виду гамильтониана

H K = − i 2 ∑ j = 1 N μ c 2 j − 1 c 2 j + i 2 ∑ j = 1 N − 1 [ ( t + Δ ) c 2 j c 2 j + 1 + ( − t + Δ ) c 2 j − 1 c 2 j + 2 ] . {displaystyle H_{K}={frac {-i}{2}}sum _{j=1}^{N}mu c_{2j-1}c_{2j}+{frac {i}{2}}sum _{j=1}^{N-1}[(t+Delta )c_{2j}c_{2j+1}+(-t+Delta )c_{2j-1}c_{2j+2}],.}

Теперь рассмотрим два предельных случая что проиллюстрировано на рис. 1: в первом случае химический потенциал меньше нуля, μ<0, а остальные параметры обращаются в ноль, Δ=t=0. Тогда спаривание полуфермионов в фермионы происходит тривиальным образом для каждого узла цепочки. Во втором случае, когда химический потенциал равен нулю, μ=0, а интеграл перескока и параметр порядка равны, Δ=t>0, то сумма превращается в слагаемые спаривающие полуфермионы в соседних узлах, причём крайние полуфермионы выпадают из суммы и образуют дважды вырожденный уровень при нуле энергии. Эти два узла можно превратить в обычный фермион сильно нелокальной природы f = 1 / 2 ( c 1 + i c N ) {displaystyle f=1/2(c_{1}+ic_{N})} . А гамильтониан приобретает обычный диагональный вид при преобразовании d j = 1 / 2 ( c 2 j + i c 2 j + 1 ) {displaystyle d_{j}=1/2(c_{2j}+ic_{2j+1})} , d j = 1 / 2 ( c 2 j − i c 2 j + 1 ) {displaystyle d_{j}=1/2(c_{2j}-ic_{2j+1})} :

H t = 2 t ∑ j = 1 L − 1 ( d j † d j − 1 2 ) . {displaystyle H_{t}=2tsum _{j=1}^{L-1}left(d_{j}^{dagger }d_{j}-{frac {1}{2}} ight),.}

Фактически эта задача не имеет отношения к реальности, но показывает как получить майорановские связные состояния и какой гамильтониан во взаимодействующей системе должен появиться. В качестве возможного материала для реализации майорановских состояний Китаев предложил использовать нанопроволоки из p-волнового сверхпроводника, то есть одномерные свехпроводники с триплетным состояниями куперовских пар.

Полупроводниковые нанопроволоки

В работах 2010 года наметился путь реализации майорановских фермионов на практике. Основное достижение заключалось в понимании влияния различных эффектов на майорановские связные состояния. В работе рассматривался гамильтониан (постоянная Планка равна единице) вида

H = ∫ Ψ † [ ( k 2 2 m − μ ) τ z ⊗ σ 0 + α k τ z ⊗ σ z + Δ Z τ 0 ⊗ σ x + Δ s c τ x ⊗ σ 0 ] Ψ d y , {displaystyle H=int Psi ^{dagger }left[left({frac {k^{2}}{2m}}-mu ight) au _{z}otimes sigma _{0}+alpha k au _{z}otimes sigma _{z}+Delta _{Z} au _{0}otimes sigma _{x}+Delta _{sc} au _{x}otimes sigma _{0} ight]Psi dy,} (1)

где волновая функция имеет вид Ψ † = ( ψ ↑ † , ψ ↓ † , ψ ↓ , − ψ ↑ ) {displaystyle Psi ^{dagger }=(psi _{uparrow }^{dagger },psi _{downarrow }^{dagger },psi _{downarrow },-psi _{uparrow })} . Первое слагаемое в подынтегральном выражении отвечает за кинетическую энергию частиц с учётом химического потенциала, второе — спин-орбитальное взаимодействие, третье — зеемановская энергия, четвёртое — сверхпроводимость. Нанопроволока ориентирована в направлении y, спин-орбитальное взаимодействие вдоль x, а магнитное поле вдоль z. Матрицы Паули σ {displaystyle sigma } , τ {displaystyle au } действуют в спиновом пространстве и в пространстве частиц-античастиц. Индекс 0 отвечает за единичную матрицу. Гамильтониан имеет собственные значения вида

E ± 2 = Δ Z 2 + Δ s c 2 + ( k 2 2 m − μ ) 2 + ( α k ) 2 ± 2 Δ Z 2 Δ s c 2 + ( k 2 2 m − μ ) 2 ( ( α k ) 2 + Δ Z 2 ) . {displaystyle E_{pm }^{2}=Delta _{Z}^{2}+Delta _{sc}^{2}+left({frac {k^{2}}{2m}}-mu ight)^{2}+(alpha k)^{2}pm 2{sqrt {Delta _{Z}^{2}Delta _{sc}^{2}+left({frac {k^{2}}{2m}}-mu ight)^{2}left((alpha k)^{2}+Delta _{Z}^{2} ight)}}.} (2)

Вблизи нуля волнового вектора возникает запрещённая зона Δ = | Δ Z − Δ s c 2 + μ 2 | {displaystyle Delta =|Delta _{Z}-{sqrt {Delta _{sc}^{2}+mu ^{2}}}|} . Когда выполняется условие Δ Z > Δ s c 2 + μ 2 {displaystyle Delta _{Z}>{sqrt {Delta _{sc}^{2}+mu ^{2}}}} говорят о возникновении топологически нетривиальной фазы, а точка, где ширина зоны равна нулю — точкой топологического фазового перехода. Она разделяет топологически тривиальную и нетривиальную фазы. Когда выполняется условие на существование топологически нетривиальной фазы на обоих краях нанопроволоки возникают майорановские связанные состояния при нуле энергии. На рис. 2 показано как возникает четыре ветви дисперсионных соотношений из ур. 2 при последовательном включении взаимодействий. Спин-орбитальное взаимодействие вида αk приводит к расщеплению параболического закона дисперсии для нанопроволоки. При добавлении сверхпроводимости добавляется электрон-дырочная симметрия, что удваивает количество дисперсионных кривых и возникает сверхпроводящая щель Δ s c {displaystyle Delta _{sc}} в спектре возбуждений. При приложении магнитного поля появляется зеемановское расщепление уровней Δ Z {displaystyle Delta _{Z}} , которое работает против сверхпроводимости и закрывает щель. При равенстве Δ Z = Δ s c {displaystyle Delta _{Z}=Delta _{sc}} (химический потенциал μ = 0 {displaystyle mu =0} ) достигается точка фазового перехода и щель пропадает, но при дальнейшем увеличении магнитного поля щель появляется вновь. Эта щель соответствует состоянию топологической сверхпроводимости.

Модель Фу — Кейна

В двумерном случае реализация майорановских фермионов оказалась возможна в модели предложенной учёными Лян Фу и Чарльзом Кейном в 2008 году. Использовав модель топологического изолятора (проводимость в таких материалах существует только на поверхности) с нанесённым на его поверхность тогкого слоя сверхпроводника s-типа, они рассмотрели гамильтониан для волновой функции (в формализме Намбу) Ψ = ( ( ψ ↑ , ψ ↓ ) , ( ψ ↑ † , − ψ ↓ † ) ) T {displaystyle Psi =((psi _{uparrow },psi _{downarrow }),(psi _{uparrow }^{dagger },-psi _{downarrow }^{dagger }))^{T}} , где стрелками обозначены проекции спина, а индекс T отвечает за транспонирование, вида

H = − i v τ z σ ⋅ ∇ − μ I τ z + Δ 0 I ( τ x cos ⁡ ( ϕ ) + τ y sin ⁡ ( ϕ ) ) , {displaystyle H=-iv au ^{z}{oldsymbol {sigma }}cdot {oldsymbol { abla }}-mu I au ^{z}+Delta _{0}I( au ^{x}cos(phi )+ au ^{y}sin(phi )),,}

где v — скорость электрона на уровне энергии Ферми (фермиевская скорость), I — единичная матрица, σ=(σx,σy) — двумерный вектор составленный из матриц Паули, действующие на спиновые состояния, τx и τy — матрицы Паули действующие на пары ψ {displaystyle psi } и ψ † {displaystyle psi ^{dagger }} , смешивая их между собой, μ — химический потенциал, Δ0 — параметр порядка сверхпроводника. Блочная часть гамильтониана H 0 = − i v σ ⋅ ∇ − μ I {displaystyle H_{0}=-iv{oldsymbol {sigma }}cdot {oldsymbol { abla }}-mu I} — это гамильтониан для квазичастиц возникающий на поверхности топологического изолятора. Куперовские пары из сверхпроводника из-за эффекта близости могут находиться на поверхности тополонического изолятора, приводя к эффективному гамильтониану взаимодействию аналогичному сверхпроводнику p-типа, где по теории Китаева существуют майорановские фермионы. Отличие состояит в симметрии этого гамильтониана по отношению к обращению времени, что приводит к дополнительному вырождению. Но используя внешнее магнитное поле ориентированное перпендикулярно поверхности сверхпроводника, которое нарушает симметрию по обращению времени, возможно сформировать сверхпроводящие вихри в рассматриваемой системе. Рассчёт показывает, что майорановский фермион возникает в ядре вихря.