Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




13.02.2021


07.02.2021


24.01.2021


24.01.2021


24.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Матрица Картана

Матрица Картана

28.07.2021

В математике термин матрица Картана имеет три значения. Все они названы по имени французского математика Эли Картана. Фактически, матрицы Картана в контексте алгебр Ли впервые исследовал Вильгельм Киллинг, в то время как форма Киллинга принадлежит Картану.

Алгебры Ли

Обобщённая матрица Картана — это квадратная матрица A = ( a i j ) {displaystyle A=(a_{ij})} с целыми элементами, такая что

  • Диагональные элементы aii = 2.
  • Недиагональные элементы a i j ≤ 0 {displaystyle a_{ij}leq 0} .
  • a i j = 0 {displaystyle a_{ij}=0} тогда и только тогда, когда a j i = 0 {displaystyle a_{ji}=0} .
  • A может быть записана в виде DS, где D — диагональная матрица, а S является симметричной.
  • Например, матрицу Картана для G2 можно разложить следующим образом:

    [ 2 − 3 − 1 2 ] = [ 3 0 0 1 ] [ 2 / 3 − 1 − 1 2 ] . {displaystyle left[{egin{smallmatrix};,,2&-3-1&;,,2end{smallmatrix}} ight]=left[{egin{smallmatrix}3&0&1end{smallmatrix}} ight]left[{egin{smallmatrix}2/3&-1-1&;2end{smallmatrix}} ight].}

    Третье условие не является независимым и является следствием первого и четвёртого условий.

    Мы всегда можем выбрать D с положительными диагональными элементами. В этом случае, если S в разложении является положительно определённой, то говорят, что A является матрицей Картана.

    Матрица Картана простой алгебры Ли — это матрица, элементы которой являются скалярными произведениями

    a i j = 2 ( r i , r j ) ( r i , r i ) {displaystyle a_{ij}=2{(r_{i},r_{j}) over (r_{i},r_{i})}}

    (иногда называемыми целыми числами Картана), где ri — система корней алгебры. Элементы являются целыми ввиду одного из свойств системы корней. Первое условие вытекает из определения, второе — из факта, что для i ≠ j , r j − 2 ( r i , r j ) ( r i , r i ) r i {displaystyle i eq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) over (r_{i},r_{i})}r_{i}} является корнем, который является линейной комбинацией простых корней ri и rj с положительным коэффициентом для rj, а тогда коэффициент при ri должен быть неотрицательным. Третье условие верно ввиду симметричности отношения ортогональности. И, наконец, пусть D i j = δ i j ( r i , r i ) {displaystyle D_{ij}={delta _{ij} over (r_{i},r_{i})}} и S i j = 2 ( r i , r j ) {displaystyle S_{ij}=2(r_{i},r_{j})} . Поскольку простые корни линейно независимы, то S является их матрицей Грама (с коэффициентом 2), а потому является положительно определённой.

    И обратно, если дана обобщённая матрица Картана, можно найти соответствующую ей алгебру Ли (см. подробности в статье Алгебра Каца — Муди).

    Классификация

    Матрица A размером n × n {displaystyle n imes n} является разложимой, если существует непустое подмножество I ⊂ { 1 , … , n } {displaystyle Isubset {1,dots ,n}} такое, что a i j = 0 {displaystyle a_{ij}=0} для всех i ∈ I {displaystyle iin I} и j ∉ I {displaystyle j otin I} . A является неразложимой, если это условие не выполняется.

    Пусть A — неразложимая обобщённая матрица Картана. Мы говорим, что A имеет конечный тип, если все её главные миноры положительны, что A имеет аффинный тип, если все её собственные главные миноры положительны и определитель матрицы A равен 0 и что A имеет неопределённый тип в остальных случаях.

    Неразложимые матрицы конечного типа классифицируют простые группы Ли конечной размерности (типа A n , B n , C n , D n , E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 {displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}} ), в то время как неразложимые матрицы аффинного типа классифицируют аффинные алгебры Ли (над некоторыми алгебраически замкнутими полями с характеристикой 0).

    Определители матриц Картана простых алгебр Ли

    Определители матриц Картана простых алгебр Ли даны в таблице.

    Другое свойство этого определителя — он равен индексу ассоциированной системы корней, то есть он равен | P / Q | {displaystyle |P/Q|} , где P , Q {displaystyle P,Q} обозначают весовую решётку и корневую решётку соответственно.

    Представления конечномерных алгебр

    В теории модулярных представлений и в более общей теории представлений конечномерных ассоциативных алгебр, не являющихся полупростыми, матрица Картана определяется путём рассмотрения (конечного) множества главных неразложимых модулей и написания композиционных рядов для них в терминах простых модулей, получая матрицу целых чисел, содержащую число вхождений простого модуля.

    Матрицы Картана в M-теории

    В М-теории можно представить геометрию как предел двуциклов, которые пересекают друг друга в конечном числе точек, при стремлению площади двуциклов к нулю. В пределе возникает группа локальной симметрии. Матрица индексов пересечения базиса двуциклов, гипотетически, является матрицей Картана алгебры Ли этой группы локальной симметрии.

    Это можно объяснить следующим образом: в M-теории имеются солитоны, являющиеся двумерными поверхностями, называемыми мембранами или 2-бранами. 2-браны имеют натяжение и потому стремятся к уменьшению, но они могут быть обёрнуты вокруг двуциклов, предотвращающих схлапывание мембран до нуля.

    Можно осуществить компактификацию одной размерности, в которой находятся все двуциклы и их точки пересечения, и взять предел, при котором размерность схлапывается до нуля, тем самым получая понижение по этой размерности. Тогда получаем теорию струн типа IIA как предел M-теории с 2-бранами, оборачивающими двуциклы, теперь представленными как открытые струны, натянутые между D-бранами. Имеется группа локальной симметрии U(1) для каждой D-браны, подобная степеням свободы движения без изменения ориентации. Предел, где двуциклы имеют нулевую площадь, является пределом, где эти D-браны находятся на вершине друг друга.

    Открытая струна, натянутая между двумя D-бранами представляет генератор алгебры Ли, и коммутатор двух таких генераторов является третьим генератором, представленным открытой струной, который можно получить путём склеивания рёбер двух открытых струн. Дальнейшие связи между различными открытыми струнами зависит от способа, которым 2-браны могут пересекаться в исходной M-теории, то есть в числе пересечений двуциклов. Таким образом, алгебра Ли зависит полностью от этих чисел пересечения. Связь с матрицей Картана предполагается, потому что она описывает коммутаторы простых корней, которые связаны с двуциклами в выбранном базисе.

    Заметим, что генераторы в подалгебре Картана представлены открытыми струнами, которые натянуты между D-браной и той же браной.