Главная
Теорема Фейербаха — результат геометрии треугольника. Теорема была сформулирована и доказана Карлом Вильгельмом Фейербахом в 1822 году.
Формулировка
Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
Замечания
- Точки попарного касания вписанной и трех вневписанных окружностей с окружностью девяти точек называются точками Фейербаха.
- Каждая точка Фейербаха лежит в точке касания пары соответствующих окружностей на линии, соединяющей их центры, на расстоянии соответствующих радиусов до их центров.
- В равностороннем треугольнике окружность девяти точек не касается, а совпадает со вписанной окружностью.
- Три точки касания трёх вневписанных окружностей треугольника с его с окружностью девяти точек образуют так называемый треугольник Фейербаха для данного треугольника.
- Точка Фейербаха F в Энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга идентифицируется, как точка (центр) X(11).
О доказательствах
Найдено более 300 доказательств этой теоремы, многие из которых используют инверсию. Одно из них (громоздкое) принадлежит самому Фейербаху. Самое короткое известное доказательство использует обратную теорему Кейси.
Связанные утверждения
- Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха. В частности, через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис.
- Точка Фейербаха F лежит на линии, соединяющей центры двух окружностей: окружности Эйлера и вписанной окружности, что и определяет её.
- Пусть x {displaystyle x} , y {displaystyle y} и z {displaystyle z} расстояния от точки Фейербаха F, до вершин серединного треугольника (треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника). Тогда x + y + z = 2 max ( x , y , z ) {displaystyle x+y+z=2max(x,y,z)} .
- Это утверждение эквивалентно тому, что наибольшее из трёх расстояний равно сумме двух других. То есть аналог свойств теоремы Мавло не для дуг, а для отрезков.
Аналогичное соотношение также встречается в разделе: «Теорема Помпею».
- Несколько новых теорем о точке Фейербаха F можно найти у Ф. Ивлева.