Главная
Эргодическая мера — в теории динамических систем инвариантная мера μ {displaystyle mu } , не представимая в виде комбинации нескольких различных инвариантных мер, то есть, если некоторое инвариантное множество A {displaystyle A} имеет положительную меру μ ( A ) > 0 {displaystyle mu (A)>0} , то мера его дополнения равна нулю μ ( P ∖ A ) = 0 {displaystyle mu (Psetminus A)=0} .
Примеры
- Рассмотрим динамическую систему: x ˙ = x − x 3 {displaystyle {dot {x}}=x-x^{3}} . У неё есть три неподвижные точки:
x 1 = 0 , x 2 = 1 , x 3 = − 1 {displaystyle x_{1}=0,x_{2}=1,x_{3}=-1} и три соответствующие им эргодических меры p 1 ( x ) = δ ( x ) , p 2 ( x ) = δ ( x − 1 ) , p 3 ( x ) = δ ( x + 1 ) {displaystyle p_{1}(x)=delta (x),p_{2}(x)=delta (x-1),p_{3}(x)=delta (x+1)} .
- Рассмотрим динамическую систему, проходящую периодическую траекторию — цикл x 1 , x 2 , . . . , x n {displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}} .
Эргодическая мера имеет вид: p ( x ) = 1 n ∑ i = 1 n δ ( x − x i ) {displaystyle p(x)={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}delta (x-x_{i})} .