Торическое многообразие

Торическое многообразие — алгебраическое многообразие, содержащее алгебраический тор в качестве открытого плотного подмножества, так что действие тора на себе умножением слева продолжается до действия на всём многообразии. Если многообразие является комплексным, то алгебраический тор — это ( C ∗ ) n {displaystyle (mathbb {C} ^{*})^{n}} . Обычно торические многообразия предполагают нормальными. Существует также параллельная теория, в которой вместо алгебраических многообразий используются симплектические.

Торическое многообразие можно построить по вееру, причём все нормальные торические многообразия получаются таким образом. Эта конструкция не элементарна в том смысле, что требует понятие спектра кольца. Другой конструкцией является конструкция проективного торического многообразия по подходящему выпуклому многограннику, которая может быть сформулирована без привлечения понятий схемной алгебраической геометрии.

Конструкция по вееру

Аффинный случай

Пусть T {displaystyle T} — n {displaystyle n} -мерный тор,

N = H o m ( C , T ) ≅ Z n {displaystyle N=Hom(mathbb {C} ,T)cong mathbb {Z} ^{n}}

— свободная абелева группа, называемая решёткой однопараметрических подгрупп, а

M = H o m ( T , C ) ≅ H o m ( N , Z ) ≅ Z n {displaystyle M=Hom(T,mathbb {C} )cong Hom(N,mathbb {Z} )cong Z^{n}}

— двойственная абелева группа, называемая решёткой мономов. Предположим, что в векторном пространстве N R = N ⊗ Z R {displaystyle N_{mathbb {R} }=Notimes _{mathbb {Z} }mathbb {R} } задан конус σ {displaystyle sigma } , который является строго выпуклым (то есть не содержит одновременно ненулевых векторов v {displaystyle v} и ( − v ) {displaystyle (-v)} ) и порождён конечным числом рациональных векторов (векторов из N Q = N ⊗ Z Q {displaystyle N_{mathbb {Q} }=Notimes _{mathbb {Z} }mathbb {Q} } ) как выпуклый конус. Возьмём двойственный конус σ ∗ {displaystyle sigma ^{*}} , лежащий в двойственном пространстве M R {displaystyle M_{mathbb {R} }} , и пересечём с решёткой M = H o m ( T , C ) {displaystyle M=Hom(T,mathbb {C} )} . Элементы этой решётки можно рассматривать как мономы из алгебры C [ T ] {displaystyle mathbb {C} [T]} , получив таким образом подалгебру C [ σ ∗ ∩ M ] {displaystyle mathbb {C} [sigma ^{*}cap M]} . Аффинным торическим многообразием X σ {displaystyle X_{sigma }} , соответствующим конусу σ {displaystyle sigma } , называется спектр этой алгебры.

При этом действие тора T {displaystyle T} на себе умножением продолжается на X σ {displaystyle X_{sigma }} благодаря тому, что алгебра C [ σ ∗ ∩ M ] {displaystyle mathbb {C} [sigma ^{*}cap M]} порождена мономами. Из-за строгой выпуклости конуса отображение T → X σ {displaystyle T o X_{sigma }} , двойственное к вложению C [ σ ∗ ∩ M ] → C [ T ] {displaystyle mathbb {C} [sigma ^{*}cap M] o mathbb {C} [T]} , является открытым вложением. Поскольку конус порождён конечным числом рациональных векторов, Лемма Гордана утверждает, что алгебра C [ σ ∗ ∩ M ] {displaystyle mathbb {C} [sigma ^{*}cap M]} конечно-порождена, то есть её спектр является многообразием.

Склейка

Необходимость перехода к двойственному конусу объясняется тем, что тогда становится возможным склейка конусов в веер.

Конструкция по многограннику