Числа Якобсталя — целочисленная последовательность, названная в честь немецкого математика Э. Э. Якобсталя.
Числа Якобсталя
Как и числа Фибоначчи, числа Якобсталя — одна из последовательностей Люка
U n ( P , Q ) , {displaystyle U_{n}(P,Q),}для которой P = 1 и Q = −2. Последовательность начинается с чисел
0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10 923, 21 845, 43 691, 87 381, 174 763, 349 525, …Числа Якобсталя определяются рекуррентным отношением
J n = { 0 , n = 0 ; 1 , n = 1 ; J n − 1 + 2 J n − 2 , n > 1. {displaystyle J_{n}={egin{cases}0,&n=0;1,&n=1;J_{n-1}+2J_{n-2},&n>1.end{cases}}}Другие варианты рекуррентного задания последовательности:
- J n + 1 = 2 J n + ( − 1 ) n {displaystyle J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n}}
- J n + 1 = 2 n − J n {displaystyle J_{n+1}=2^{n}-J_{n}}
Число Якобсталя с заданным номером можно вычислить с помощью формулы
J n = 2 n − ( − 1 ) n 3 . {displaystyle J_{n}={frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.}Числа Якобсталя-Люка
Числа Якобсталя-Люка представляют собой последовательность Люка V n ( 1 , − 2 ) {displaystyle V_{n}(1,-2)} . Они удовлетворяют тем же рекуррентным отношениям, что и числа Якобсталя, но отличаются начальными значениями:
j n = { 2 , n = 0 ; 1 , n = 1 ; j n − 1 + 2 j n − 2 , n > 1. {displaystyle j_{n}={egin{cases}2,&n=0;1,&n=1;j_{n-1}+2j_{n-2},&n>1.end{cases}}}Альтернативная формула:
j n + 1 = 2 j n − 3 ( − 1 ) n . {displaystyle j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.}Число Якобсталя-Люка с заданным номером можно вычислить с помощью формулы
j n = 2 n + ( − 1 ) n . {displaystyle j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.}Последовательность Якобсталя-Люка начинается с чисел
2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16 385, 32 767, 65 537, 131 071, 262 145, 524 287, 1 048 577, …