Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




13.02.2021


07.02.2021


24.01.2021


24.01.2021


24.01.2021





Яндекс.Метрика

Шестисотячейник

02.06.2022

Правильный шестисотячейник, или просто шестисотячейник, или гекзакосихор (от др.-греч. ἑξἀκόσιοι — «шестьсот» и χώρος — «место, пространство»), — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Двойственен стодвадцатиячейнику.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов. Символ Шлефли шестисотячейника — {3,3,5}.

Описание

Ограничен 600 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен arccos ⁡ ( − 1 + 3 5 8 ) ≈ 164 , 48 ∘ . {displaystyle arccos left(-{frac {1+3{sqrt {5}}}{8}} ight)approx 164{,}48^{circ }.}

Его 1200 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 720 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 5 граней и по 5 ячеек.

Имеет 120 вершин. В каждой вершине сходятся по 12 рёбер, по 30 граней и по 20 ячеек.

В координатах

Шестисотячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:

  • 8 из его вершин имели координаты ( ± 2 ; 0 ; 0 ; 0 ) , {displaystyle (pm 2;0;0;0),} ( 0 ; ± 2 ; 0 ; 0 ) , {displaystyle (0;pm 2;0;0),} ( 0 ; 0 ; ± 2 ; 0 ) , {displaystyle (0;0;pm 2;0),} ( 0 ; 0 ; 0 ; ± 2 ) {displaystyle (0;0;0;pm 2)} (эти вершины расположены так же, как вершины шестнадцатиячейника);
  • ещё 16 вершин — координаты ( ± 1 ; ± 1 ; ± 1 ; ± 1 ) {displaystyle (pm 1;pm 1;pm 1;pm 1)} (они расположены так же, как вершины тессеракта; кроме того, вместе с 8 предыдущими они дают вершины двадцатичетырёхячейника);
  • координаты остальных 96 вершин были всевозможными чётными перестановками чисел ( ± Φ ; ± 1 ; ± Φ − 1 ; 0 ) , {displaystyle (pm Phi ;pm 1;pm Phi ^{-1};0),} где Φ = 1 + 5 2 {displaystyle Phi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}} — отношение золотого сечения (эти вершины расположены так же, как вершины курносого двадцатичетырёхъячейника).

Начало координат ( 0 ; 0 ; 0 ; 0 ) {displaystyle (0;0;0;0)} будет центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Ортогональные проекции на плоскость

Метрические характеристики

Если шестисотячейник имеет ребро длины a , {displaystyle a,} то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

V 4 = 25 4 ( 2 + 5 ) a 4 ≈ 26,475 4249 a 4 , {displaystyle V_{4}={frac {25}{4}}left(2+{sqrt {5}} ight)a^{4}approx 26{,}4754249a^{4},} S 3 = 50 2 a 3 ≈ 70,710 6781 a 3 . {displaystyle S_{3}=50{sqrt {2}}a^{3}approx 70{,}7106781a^{3}.}

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

R = Φ a = 1 2 ( 1 + 5 ) a ≈ 1,618 0340 a , {displaystyle R=Phi a={frac {1}{2}}left(1+{sqrt {5}} ight)aapprox 1{,}6180340a,}

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ 1 = 1 2 5 + 2 5 a ≈ 1,538 8418 a , {displaystyle ho _{1}={frac {1}{2}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}};aapprox 1{,}5388418a,}

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

ρ 2 = 1 6 ( 15 + 3 3 ) a ≈ 1,511 5226 a , {displaystyle ho _{2}={frac {1}{6}}left({sqrt {15}}+3{sqrt {3}} ight)aapprox 1{,}5115226a,}

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

r = 1 4 ( 10 + 2 2 ) a ≈ 1,497 6762 a . {displaystyle r={frac {1}{4}}left({sqrt {10}}+2{sqrt {2}} ight)aapprox 1{,}4976762a.}