Описанный четырёхугольник

В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников.

Все треугольники имеют вписанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, в который нельзя вписать окружность, может служить прямоугольник, не являющийся квадратом. Раздел «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы четырёхугольник был описанным.

Специальные случаи

Примерами описанных четырёхугольников могут служить дельтоиды, которые включают ромбы, которые, в свою очередь, включают квадраты. Дельтоиды — это в точности те описанные четырёхугольники, которые также являются ортодиагональными . Если четырёхугольник является описанным и вписанным четырёхугольником, он называется бицентральным.

Свойства

В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.

Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру s четырёхугольника:

a + c = b + d = a + b + c + d 2 = s . {displaystyle a+c=b+d={frac {a+b+c+d}{2}}=s.}

Обратно — четырёхугольник, в котором a + c = b + d, должен быть описанным.

Если противоположные стороны в выпуклом четырёхугольнике ABCD (не являющемся трапецией) пересекаются в точках E и F, то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда

B E + B F = D E + D F {displaystyle displaystyle BE+BF=DE+DF}

или

A E − E C = A F − F C . {displaystyle displaystyle AE-EC=AF-FC.}

Второе равенство почти то же, что и равенство в теореме Уркхарта. Разница только в знаках — в теореме Уркхарта суммы, а здесь разности (см. рисунок справа).

Другое необходимое и достаточное условие — выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг друга.

Описание по углам, образованным диагональю BD со сторонами четырёхугольника ABCD, принадлежит Иосифеску (Iosifescu). Он в 1954 доказал, что выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда

tan ⁡ ∠ A B D 2 ⋅ tan ⁡ ∠ B D C 2 = tan ⁡ ∠ A D B 2 ⋅ tan ⁡ ∠ D B C 2 . {displaystyle an {frac {angle ABD}{2}}cdot an {frac {angle BDC}{2}}= an {frac {angle ADB}{2}}cdot an {frac {angle DBC}{2}}.}

Далее выпуклый четырёхугольник со сторонами a, b, c, d является описанным тогда и только тогда, когда

R a R c = R b R d {displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}} ,

где Ra, Rb, Rc, Rd являются радиусами окружностей, внешне касательным сторонам a, b, c, d соответственно и продолжениям смежных сторон с каждой стороны .

Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.

Специальные отрезки

Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.

Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Площадь

Нетригонометрические формулы

Площадь K касательного четырёхугольника задаётся формулой

S = r ⋅ p {displaystyle S=rcdot p} ,

где p — полупериметр и r — радиус вписанной окружности. Ещё одна формула

S = 1 2 p 2 q 2 − ( a c − b d ) 2 {displaystyle S={ frac {1}{2}}{sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}} ,

дающая площадь в терминах диагоналей p, q и сторон a, b, c, d касательного четырёхугольника.

Площадь можно представить также в терминах касательных отрезков (см. выше). Если их обозначить через e, f, g, h, то касательный четырёхугольник имеет площадь

S = ( e + f + g + h ) ( e f g + f g h + g h e + h e f ) . {displaystyle S={sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}

Более того, площадь касательного четырёхугольника можно выразить в терминах сторон a, b, c, d и соответствующих длин касательных отрезков e, f, g, h

S = a b c d − ( e g − f h ) 2 . {displaystyle S={sqrt {abcd-(eg-fh)^{2}}}.}

Поскольку eg = fh в том и только в том случае, когда он также является вписанным, получаем, что максимальная площадь a b c d {displaystyle {sqrt {abcd}}} может достигаться только на четырёхугольниках, которые являются и описанными, и вписанными одновременно.

Тригонометрические формулы

Тригонометрическая формула для площади в терминах сторон a, b, c, d и двух противоположных сторон

S = a b c d sin ⁡ A + C 2 = a b c d sin ⁡ B + D 2 . {displaystyle S={sqrt {abcd}}sin {frac {A+C}{2}}={sqrt {abcd}}sin {frac {B+D}{2}}.}

Для заданного произведения сторон площадь будет максимальной, когда четырёхугольник является также вписанным. В этом случае S = a b c d {displaystyle S={sqrt {abcd}}} , поскольку противоположные углы являются дополнительными. Это можно доказать и другим способом, используя математический анализ.

Ещё одна формула площади описанного четырёхугольника ABCD, использующая два противоположных угла

S = ( O A ⋅ O C + O B ⋅ O D ) sin ⁡ A + C 2 {displaystyle S=left(OAcdot OC+OBcdot OD ight)sin {frac {A+C}{2}}} ,

где O является центром вписанной окружности.

Фактически площадь можно выразить в терминах лишь двух смежных сторон и двух противоположных углов

S = a b sin ⁡ B 2 csc ⁡ D 2 sin ⁡ B + D 2 . {displaystyle S=absin {frac {B}{2}}csc {frac {D}{2}}sin {frac {B+D}{2}}.}

Есть ещё одна формула

S = 1 2 | ( a c − b d ) tan ⁡ θ | , {displaystyle S={ frac {1}{2}}|(ac-bd) an { heta }|,}

где θ угол (любой) между диагоналями. Формула неприменима к случаю дельтоидов, поскольку в этом случае θ равен 90° и тангенс не определён.

Неравенства

Как упомянуто было вскользь выше, площадь касательного многоугольника со сторонами a, b, c, d удовлетворяет неравенству

S ≤ a b c d {displaystyle Sleq {sqrt {abcd}}}

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является бицентральным.

Согласно Т. А. Ивановой (1976), полупериметр p описанного четырёхугольника удовлетворяет неравенству

p ≥ 4 r {displaystyle pgeq 4r} ,

где r — радиус вписанной окружности. Неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом. Это означает, что для площади S = pr, выполняется неравенство

S ≥ 4 r 2 {displaystyle Sgeq 4r^{2}}

с переходом в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник — квадрат.

Свойства частей четырёхугольника

Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касания делят четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида.

Если прямая делит описанный четырёхугольник на два многоугольника с равными площадями и равными периметрами, то эта линия проходит через инцентр.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности описанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой

r = S p = S a + c = S b + d {displaystyle r={frac {S}{p}}={frac {S}{a+c}}={frac {S}{b+d}}} ,

где S — площадь четырёхугольника, а p — полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным.

В терминах отрезков касательных радиус вписанной окружности .

r = e f g + f g h + g h e + h e f e + f + g + h . {displaystyle displaystyle r={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.}

Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD. Если u = AO, v = BO, x = CO и y = DO, то

r = 2 ( σ − u v x ) ( σ − v x y ) ( σ − x y u ) ( σ − y u v ) u v x y ( u v + x y ) ( u x + v y ) ( u y + v x ) {displaystyle r=2{sqrt {frac {(sigma -uvx)(sigma -vxy)(sigma -xyu)(sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}} ,

где σ = 1 2 ( u v x + v x y + x y u + y u v ) {displaystyle sigma ={ frac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)} .

Формулы для углов

Если e, f, g и h отрезки касательных от вершин A, B, C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD, то углы четырёхугольника можно вычислить по формулам

sin ⁡ A 2 = e f g + f g h + g h e + h e f ( e + f ) ( e + g ) ( e + h ) , {displaystyle sin {frac {A}{2}}={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},} sin ⁡ B 2 = e f g + f g h + g h e + h e f ( f + e ) ( f + g ) ( f + h ) , {displaystyle sin {frac {B}{2}}={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},} sin ⁡ C 2 = e f g + f g h + g h e + h e f ( g + e ) ( g + f ) ( g + h ) , {displaystyle sin {frac {C}{2}}={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},} sin ⁡ D 2 = e f g + f g h + g h e + h e f ( h + e ) ( h + f ) ( h + g ) . {displaystyle sin {frac {D}{2}}={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}

Угол между хордами KM и LN задаётся формулой(см. рисунок)

sin ⁡ φ = ( e + f + g + h ) ( e f g + f g h + g h e + h e f ) ( e + f ) ( f + g ) ( g + h ) ( h + e ) . {displaystyle sin {varphi }={sqrt {frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.}

Диагонали

Если e, f, g и h являются отрезками касательных от A, B, C и D до точек касания вписанной окружности четырёхугольником ABCD, то длины диагоналей p = AC и q = BD равны

p = e + g f + h ( ( e + g ) ( f + h ) + 4 f h ) , {displaystyle displaystyle p={sqrt {{frac {e+g}{f+h}}{Big (}(e+g)(f+h)+4fh{Big )}}},} q = f + h e + g ( ( e + g ) ( f + h ) + 4 e g ) . {displaystyle displaystyle q={sqrt {{frac {f+h}{e+g}}{Big (}(e+g)(f+h)+4eg{Big )}}}.}

Хорды точек касания

Если e, f, g и h являются отрезками от вершин до точек касания, то длины хорд до противоположных точек касания равны

k = 2 ( e f g + f g h + g h e + h e f ) ( e + f ) ( g + h ) ( e + g ) ( f + h ) , {displaystyle displaystyle k={frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},} l = 2 ( e f g + f g h + g h e + h e f ) ( e + h ) ( f + g ) ( e + g ) ( f + h ) , {displaystyle displaystyle l={frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}},}

где хорда k соединяет стороны с длинами a = e + f и c = g + h, а хорда l соединяет стороны длиной b = f + g и d = h + e. Квадрат отношения хорд удовлетворяет соотношению

k 2 l 2 = b d a c . {displaystyle {frac {k^{2}}{l^{2}}}={frac {bd}{ac}}.}

Две хорды

• перпендикулярны тогда и только тогда, когда четырёхугольник также и вписан .
• имеют одинаковые длины тогда и только тогда, описанный четырёхугольник является дельтоидом.

Хорда между сторонами AB и CD в описанном четырёхугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA тогда и только тогда, когда средняя линия между сторонами AB и CD короче, чем средняя линия между сторонами BC и DA.

Если описанный четырёхугольник ABCD имеет точки касания M на AB и N на CD и хорда MN пересекает диагональ BD в точке P, то отношение отрезков касательных B M D N {displaystyle { frac {BM}{DN}}} равно отношению B P D P {displaystyle { frac {BP}{DP}}} отрезков диагонали BD.

Коллинеарные точки

Если M1 и M2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, а пары противоположных сторон пересекаются в точках E и F и M3 — середина отрезка EF, тогда точки M3, M1, O, и M2 лежат на одной прямой Прямая, соединяющая эти точки, называется прямой Ньютона четырёхугольника.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а продолжения противоположных сторон четырёхугольника, образованного точками касания, пересекаются в точках T и S, то четыре точки E, F, T и S лежат на одной прямой

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N и L соответственно, и если TM, TK, TN, TL являются изотомически сопряжёнными точками этих точек (то есть AТM = BM и т.д.), то точка Нагеля определяется как пересечение прямых TNTM и TKTL. Обе эти прямые делят периметр четырёхугольника на две равные части. Однако важнее то, что точка Нагеля Q, "центроид площади" G и центр вписанной окружности O лежат на одной прямой, и при этом QG = 2GO. Эта прямая называется прямой Нагеля описанного четырёхугольника.

В описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, в котором диагонали пересекаются в точке P, пусть HM, HK, HN, HL являются ортоцентрами треугольников AOB, BOC, COD и DOA соответственно. Тогда точки P, HM, HK, HN и HL лежат на одной прямой.

Конкурентные и перпендикулярные прямые

Две диагонали четырёхугольника и две хорды, соединяющие противоположные точки касания (противоположные вершины вписанного четырёхугольника), конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке). Для того, чтобы показать это, можно воспользоваться частным случаем теоремы Брианшона, которая утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются коническое сечение, имеет три диагонали, пересекающиеся в одной точке. Из описанного четырёхугольника легко получить шестиугольник с двумя углами по 180° путём вставки двух новых вершина противоположных точках касания. Все шесть сторон полученного шестиугольника являются касательными вписанной окружности, так что его диагонали пересекаются в одной точке. Но две диагонали шестиугольника совпадают с диагоналями четырёхугольника, а третья диагональ проходит через противоположные точки касания. Повторив те же рассуждения для двух других точек касания, получим требуемый результат.

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках M, K, N, L соответственно, то прямые MK, LN и AC конкурентны.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а диагонали пересекаются в точке P, то прямая EF перпендикулярна продолжению OP, где O — центр вписанной окружности.

Свойства вписанной окружности

Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих вершин

A B C D = O A ⋅ O B O C ⋅ O D , B C D A = O B ⋅ O C O D ⋅ O A . {displaystyle {frac {AB}{CD}}={frac {OAcdot OB}{OCcdot OD}},quad quad {frac {BC}{DA}}={frac {OBcdot OC}{ODcdot OA}}.}

Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению

A B ⋅ B C = O B 2 + O A ⋅ O B ⋅ O C O D . {displaystyle ABcdot BC=OB^{2}+{frac {OAcdot OBcdot OC}{OD}}.}

Если O — центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD, то

O A ⋅ O C + O B ⋅ O D = A B ⋅ B C ⋅ C D ⋅ D A . {displaystyle OAcdot OC+OBcdot OD={sqrt {ABcdot BCcdot CDcdot DA}}.}

Центр вписанной окружности O совпадает с "центроидом вершин" четырёхугольника в том и только в том случае, когда

O A ⋅ O C = O B ⋅ O D . {displaystyle OAcdot OC=OBcdot OD.}

Если M1 и M2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то

O M 1 O M 2 = O A ⋅ O C O B ⋅ O D = e + g f + h , {displaystyle {frac {OM_{1}}{OM_{2}}}={frac {OAcdot OC}{OBcdot OD}}={frac {e+g}{f+h}},}

где e, f, g и h — отрезки касательных в вершинах A, B, C и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что "центроид вершин" описанного четырёхугольника совпадает с центром вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.

Если четырёхзвенный механизм выполнен в виде описанного четырёхугольника, четырёхугольник остаётся описанным независимо от его деформации, при условии, что четырёхугольник остаётся выпуклым (Так, например, при деформации квадрата в ромб четырёхугольник остаётся описанным, хотя вписанная окружность будет меньшего размера). Если при деформации одна сторона зафиксирована, то при деформации четырёхугольника центр вписанной окружности движется по окружности радиуса a b c d / s {displaystyle {sqrt {abcd}}/s} , где a,b,c,d — стороны, а s — полупериметр.

Свойства четырёх внутренних треугольников

Для непересекающихся треугольниках APB, BPC, CPD, DPA, образованных диагоналями выпуклого четырёхугольника ABCD, где диагонали пересекаются в точке P, имеются следующие свойства.

Пусть r1, r2, r3 и r4 означают радиусы вписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. Чао и Симеонов доказали, что четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда

1 r 1 + 1 r 3 = 1 r 2 + 1 r 4 . {displaystyle {frac {1}{r_{1}}}+{frac {1}{r_{3}}}={frac {1}{r_{2}}}+{frac {1}{r_{4}}}.}

Это свойство было доказано пятью годами ранее Вайнштейном. В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через hM, hK, hN и hL обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда

1 h M + 1 h N = 1 h K + 1 h L . {displaystyle {frac {1}{h_{M}}}+{frac {1}{h_{N}}}={frac {1}{h_{K}}}+{frac {1}{h_{L}}}.}

Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей rM, rK, rN и rL для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда

1 r M + 1 r N = 1 r K + 1 r L . {displaystyle {frac {1}{r_{M}}}+{frac {1}{r_{N}}}={frac {1}{r_{K}}}+{frac {1}{r_{L}}}.}

Если RM, RK, RN и RL — радиусы описанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно, то четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда

R M + R N = R K + R L . {displaystyle R_{M}+R_{N}=R_{K}+R_{L}.}

В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтах. Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник . Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA лежат на одной окружности (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если Rm, Rn, Rk и Rl — радиусы вневписанных окружностей APB, BPC, CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D, то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет

1 R m + 1 R n = 1 R k + 1 R l . {displaystyle {frac {1}{R_{m}}}+{frac {1}{R_{n}}}={frac {1}{R_{k}}}+{frac {1}{R_{l}}}.}

Далее выпуклый четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда

m △ ( A P B ) + n △ ( C P D ) = k △ ( B P C ) + l △ ( D P A ) {displaystyle {frac {m}{ riangle (APB)}}+{frac {n}{ riangle (CPD)}}={frac {k}{ riangle (BPC)}}+{frac {l}{ riangle (DPA)}}}

где m, k, n, l – длины сторон AB, BC, CD и DA, а ∆(APB) — площадь треугольника APB.

Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = pa и PC = pc. Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = pb и PD = pd. Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:

m p c p d + n p a q b = k p a p d + l p c p b {displaystyle mp_{c}p_{d}+np_{a}q_{b}=kp_{a}p_{d}+lp_{c}p_{b}}

или

( p a + p b − m ) ( p c + p d − n ) ( p a + p b + m ) ( p c + p d + n ) = ( p c + p b − k ) ( p a + p d − l ) ( p c + p b + k ) ( p a + p d + l ) {displaystyle {frac {(p_{a}+p_{b}-m)(p_{c}+p_{d}-n)}{(p_{a}+p_{b}+m)(p_{c}+p_{d}+n)}}={frac {(p_{c}+p_{b}-k)(p_{a}+p_{d}-l)}{(p_{c}+p_{b}+k)(p_{a}+p_{d}+l)}}}

или

( m + p a − p b ) ( n + p c − p d ) ( m − p a + p b ) ( n − p c + p d ) = ( k + p c − p b ) ( l + p a − p d ) ( k − p c + p b ) ( l − p a + p d ) . {displaystyle {frac {(m+p_{a}-p_{b})(n+p_{c}-p_{d})}{(m-p_{a}+p_{b})(n-p_{c}+p_{d})}}={frac {(k+p_{c}-p_{b})(l+p_{a}-p_{d})}{(k-p_{c}+p_{b})(l-p_{a}+p_{d})}}.}

Условия для описанного четырёхугольника быть другим типом четырёхугольника

Описанный четырёхугольник является ромбом в том и только в том случае, когда противоположные углы равны.

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N, L соответственно, то ABCD является также вписанным четырёхугольником тогда и только тогда, когда

• хорда MN перпендикулярна KL
• A M M B = D N N C {displaystyle {frac {AM}{MB}}={frac {DN}{NC}}}
• A C B D = A M + C N B K + D L {displaystyle {frac {AC}{BD}}={frac {AM+CN}{BK+DL}}}

Первое утверждение из этих трёх означает, что четырёхугольник касаний MKNL является ортодиагональным.

Описанный четырёхугольник является бицентричным (т.е. описанным и вписанным одновременно) тогда и только тогда, когда радиус вписанной окружности наибольший среди всех описанных четырёхугольников, имеющих ту же самую последовательность длин сторон.

Описанный четырёхугольник является дельтоидом в том и только в том случае, когда любое из нижеследующих условий выполняется:

• Площадь равна половине произведения диагоналей
• Диагонали перпендикулярны
• Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют равные длины
• Одна пара противоположных отрезков от вершины до точки касания имеют одинаковые длины
• Средние линии имеют одинаковые длины
• Произведения противоположных сторон равны
• Центр вписанной окружности лежит на диагонали, являющейся осью симметрии.