Слэш-обозначения Фейнмана

Слэш-обозначения Фейнмана (менее известное как слэш-обозначения Дирака) — удобное обозначение, придуманное Ричардом Фейнманом для полей Дирака в квантовой теории поля. Если A является ковариантным вектором (т.е. 1-формой), то

A /   = d e f   γ μ A μ {displaystyle {A!!!/} {stackrel {mathrm {def} }{=}} gamma ^{mu }A_{mu }}

используя соглашение о суммировании Эйнштейна, где γ — гамма-матрицы .

Тождества

Используя антикоммутаторы гамма-матриц, можно показать, что для любого a μ {displaystyle a_{mu }} и b μ {displaystyle b_{mu }} ,

a / a / ≡ a μ a μ ⋅ I 4 = a 2 ⋅ I 4 a / b / + b / a / ≡ 2 a ⋅ b ⋅ I 4 {displaystyle {egin{aligned}{a!!!/}{a!!!/}&equiv a^{mu }a_{mu }cdot I_{4}=a^{2}cdot I_{4}{a!!!/}{b!!!/}+{b!!!/}{a!!!/}&equiv 2acdot bcdot I_{4},end{aligned}}} ,

где I 4 {displaystyle I_{4}} — единичная матрица в четырех измерениях.

В частности,

∂ / 2 ≡ ∂ 2 ⋅ I 4 . {displaystyle {partial !!!/}^{2}equiv partial ^{2}cdot I_{4}.}

Дальнейшие тождества могут быть получены непосредственно из тождеств гамма-матрицы путем замены метрического тензора на внутренние произведения. Например,

tr ⁡ ( a / b / ) ≡ 4 a ⋅ b tr ⁡ ( a / b / c / d / ) ≡ 4 [ ( a ⋅ b ) ( c ⋅ d ) − ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) + ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) ] tr ⁡ ( γ 5 a / b / c / d / ) ≡ 4 i ϵ μ ν λ σ a μ b ν c λ d σ γ μ a / γ μ ≡ − 2 a / γ μ a / b / γ μ ≡ 4 a ⋅ b ⋅ I 4 γ μ a / b / c / γ μ ≡ − 2 c / b / a / {displaystyle {egin{aligned}operatorname {tr} ({a!!!/}{b!!!/})&equiv 4acdot boperatorname {tr} ({a!!!/}{b!!!/}{c!!!/}{d!!!/})&equiv 4left[(acdot b)(ccdot d)-(acdot c)(bcdot d)+(acdot d)(bcdot c) ight]operatorname {tr} (gamma _{5}{a!!!/}{b!!!/}{c!!!/}{d!!!/})&equiv 4iepsilon _{mu u lambda sigma }a^{mu }b^{ u }c^{lambda }d^{sigma }gamma _{mu }{a!!!/}gamma ^{mu }&equiv -2{a!!!/}gamma _{mu }{a!!!/}{b!!!/}gamma ^{mu }&equiv 4acdot bcdot I_{4}gamma _{mu }{a!!!/}{b!!!/}{c!!!/}gamma ^{mu }&equiv -2{c!!!/}{b!!!/}{a!!!/}end{aligned}}}

где

ϵ μ ν λ σ {displaystyle epsilon _{mu u lambda sigma },} — символ Леви-Чивиты.

С четырьмя импульсами

Часто используя уравнение Дирака и решая его для сечений, можно найти обозначение косой черты для четырёхимпульса. Используя базис Дирака для гамма-матриц,

γ 0 = ( I 0 0 − I ) , γ i = ( 0 σ i − σ i 0 ) {displaystyle gamma ^{0}={egin{pmatrix}I&0&-Iend{pmatrix}},quad gamma ^{i}={egin{pmatrix}0&sigma ^{i}-sigma ^{i}&0end{pmatrix}},}

и определение четырёхимпульса

p μ = ( E , − p x , − p y , − p z ) {displaystyle p_{mu }=left(E,-p_{x},-p_{y},-p_{z} ight),}

получим

p / = γ μ p μ = γ 0 p 0 + γ i p i = [ p 0 0 0 − p 0 ] + [ 0 σ i p i − σ i p i 0 ] = [ E − σ ⋅ p → σ ⋅ p → − E ] . {displaystyle {egin{aligned}{p!!/}&=gamma ^{mu }p_{mu }=gamma ^{0}p_{0}+gamma ^{i}p_{i}&={egin{bmatrix}p_{0}&0&-p_{0}end{bmatrix}}+{egin{bmatrix}0&sigma ^{i}p_{i}-sigma ^{i}p_{i}&0end{bmatrix}}&={egin{bmatrix}E&-sigma cdot {vec {p}}sigma cdot {vec {p}}&-Eend{bmatrix}}.end{aligned}}}

Аналогичные результаты имеют место в других базисах, таких как базис Вейля.