Пятиугольное число

Пятиугольные числа — один из классов классических многоугольных чисел. Последовательность пятиугольных чисел имеет вид (последовательность A000326 в OEIS):

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477…

Общая формула для n {displaystyle n} -го по порядку пятиугольного числа:

P n ( 5 ) = 3 n 2 − n 2 {displaystyle P_{n}^{(5)}={frac {3n^{2}-n}{2}}}

Определение

Пятиугольные числа, как и все прочие классические k {displaystyle k} -угольные числа, можно определить как частичные суммы арифметической прогрессии, которая начинается с 1, а разность её для пятиугольных чисел равна k − 2 = 3 {displaystyle k-2=3} :

1 + 4 + 7 + 10 + … {displaystyle 1+4+7+10+dots }

Можно также определить n {displaystyle n} -е пятиугольное число как сумму последовательных натуральных чисел:

P n ( 5 ) = n + ( n + 1 ) + ( n + 2 ) + ( n + 3 ) + ⋯ + ( 2 n − 1 ) {displaystyle P_{n}^{(5)}=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+dots +(2n-1)}

Сумма n {displaystyle n} -го квадратного числа с ( n − 1 ) {displaystyle (n-1)} -м треугольным числом даёт n {displaystyle n} -е пятиугольное число:

n 2 + T n − 1 = P n ( 5 ) {displaystyle n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)}}

Эта теорема была впервые опубликована Никомахом («Введение в арифметику», II век).

Наконец, ещё один способ определения пятиугольного числа — рекурсивный:

P 1 ( 5 ) = 1 ; P n ( 5 ) = P n − 1 ( 5 ) + 3 n − 2 = 2 P n − 1 ( 5 ) − P n − 2 ( 5 ) + 3 {displaystyle P_{1}^{(5)}=1;quad P_{n}^{(5)}=P_{n-1}^{(5)}+3n-2=2P_{n-1}^{(5)}-P_{n-2}^{(5)}+3}

Свойства

Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными:

P n ( 5 ) = n ( 3 n − 1 ) 2 = T n − 1 + n 2 = T n + 2 T n − 1 = T 2 n − 1 − T n − 1 = 1 3 T 3 n − 1 {displaystyle P_{n}^{(5)}={frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={frac {1}{3}}T_{3n-1}}

Если в формуле n ( 3 n − 1 ) 2 { extstyle {frac {n(3n-1)}{2}}} указать для n {displaystyle n} более общую последовательность:

n = 0 , 1 , − 1 , 2 , − 2 , 3 , − 3 … {displaystyle n=0,;1,;-1,;2,;-2,;3,;-3dots }

то получатся обобщённые пятиугольные числа:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... (последовательность A001318 в OEIS)

Леонард Эйлер обнаружил обобщённые пятиугольные числа в следующем тождестве:

( 1 − x ) ( 1 − x 2 ) ( 1 − x 3 ) … = 1 − x − x 2 + x 5 + x 7 − x 12 − x 15 + x 22 + x 26 − x 35 − x 40 + … {displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})ldots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+ldots }

Степени x {displaystyle x} в правой части тождества образуют последовательность обобщённых пятиугольных чисел.

Проверка на пятиугольное число

Задача. Выяснить, является ли заданное натуральное число x > 2 {displaystyle x>2} пятиугольным.

Решение. Вычислим значение выражения:

n = 24 x + 1 + 1 6 . {displaystyle n={frac {{sqrt {24x+1}}+1}{6}}.}

x {displaystyle x} является пятиугольным числом тогда и только тогда, когда n {displaystyle n} — целое число, причём номер x {displaystyle x} в последовательности пятиугольных чисел равен n . {displaystyle n.}

Квадратные пятиугольные числа

Существуют числа, одновременно квадратные и пятиугольные:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801… (последовательность A036353 в OEIS