Теорема Фалеса — теорема планиметрии о наборе параллельных секущих к паре прямых.
Формулировки
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Более общая формулировка, также называемая теоремой о пропорциональных отрезкахПараллельные секущие образуют на прямых пропорциональные отрезки:
A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . {displaystyle {frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.}Замечания
В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на прямых.
Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.
Доказательство в случае не параллельных прямыхРассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 {displaystyle AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}} и при этом A B = C D {displaystyle AB=CD} .
Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■
История
Эта теорема приписывается греческому математику и философу Фалесу Милетскому. По легенде, Фалес Милетский рассчитывал высоту пирамиды Хеопса, измеряя длину её тени на земле и длину тени палки известной высоты. Самое раннее из известных письменных доказательств этой теоремы дано в «НачалахЭлементах Евклида» Евклида (предложение 2 книги VI).
Вариации и обобщения
Обратная теорема
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:
Таким образом (см. рис.) из того, что C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … {displaystyle {frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=ldots } , следует, что A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … {displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||ldots } .
Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).
Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.
Лемма Соллертинского
Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского:
В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.
Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:
Теорема Фалеса в культуре
Аргентинская комедийная музыкальная группа Les Luthiers представила песню, посвящённую теореме;
Ёсикагэ Кира из манги JoJo’s Bizarre Adventure использовал теорему посреди боя, дабы вычислить расстояние до цели.