Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер

















Яндекс.Метрика

Гомологическая алгебра

Гомологическая алгебра — ветвь алгебры, изучающая алгебраические объекты, заимствованные из алгебраической топологии.

Гомологическая алгебра играет важную роль в алгебраической топологии, применяется во многих разделах алгебры, таких, как теория групп, теория алгебр, алгебраическая геометрия, теория Галуа.

История

Первыми гомологические методы в алгебре применили в 40-х годах XX века Дмитрий Константинович Фаддеев, Самуэль Эйленберг и Саундерс Маклейн при изучении расширений групп.

Цепной комплекс

Цепной комплекс — это градуированный модуль M = ⨁ n = 0 ∞ M n {displaystyle M=igoplus limits _{n=0}^{infty }M_{n}} с дифференциалом d : M → M {displaystyle d:M o M} , d 2 = 0 {displaystyle d^{2}=0} , понижающим градуировку для цепного комплекса, d ( M n ) ⊂ M n − 1 {displaystyle d(M_{n})subset M_{n-1}} , или повышающим градуировку для коцепного комплекса, d ( M n ) ⊂ M n + 1 {displaystyle d(M_{n})subset M_{n+1}} .

Одним из основных понятий гомологической алгебры является цепной комплекс. Цепные комплексы возникают в различных разделах математики: в алгебраической топологии, коммутативной алгебре, алгебраической геометрии. Изучение общих свойств комплексов — одна из основных задач гомологической алгебры.

Резольвента

Проективной резольвентой модуля A {displaystyle A} , называется левый комплекс … ⟶ X n ⟶ d n X n − 1 ⟶ … ⟶ d 1 X 0 ⟶ ε A ⟶ 0 {displaystyle ldots longrightarrow X_{n}{stackrel {d_{n}}{longrightarrow }}X_{n-1}longrightarrow ldots {stackrel {d_{1}}{longrightarrow }}X_{0}{stackrel {varepsilon }{longrightarrow }}Alongrightarrow 0} , в котором все X n {displaystyle X_{n}} проективны и гомологии которого равны нулю, кроме нулевых.

Проективные резольвенты используются для вычисления функторов Torn(A, C) и Extn(A, C). Резольвенты возникли в алгебраической топологии для вычисления гомологий топологического произведения по гомологиям сомножителей по формуле Кюннета.

Производные функторы