Интегральное преобразование Абеля

Интегральное преобразование Абеля — преобразование, часто используемое при анализе сферически или цилиндрически симметричных функций. Названо в честь норвежского математика Н. Х. Абеля. Для функции f ( r ) {displaystyle f(r)} преобразование Абеля даётся уравнением

F ( y ) = 2 ∫ y ∞ f ( r ) r d r r 2 − y 2 . {displaystyle F(y)=2int limits _{y}^{infty }{frac {f(r)r,dr}{sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}

Если функция f ( r ) {displaystyle f(r)} спадает с r {displaystyle r} быстрее чем 1 / r {displaystyle 1/r} , то можно вычислить обратное преобразование Абеля:

f ( r ) = − 1 π ∫ r ∞ d F d y d y y 2 − r 2 . {displaystyle f(r)=-{frac {1}{pi }}int limits _{r}^{infty }{frac {dF}{dy}},{frac {dy}{sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}

В обработке изображений преобразование Абеля используется для того, чтобы получить проекцию симметричной, оптически тонкой функции испускания на плоскость. Обратное преобразование используется для восстановления функции по её проекции (напр. фотографии).

Геометрическая интерпретация

Преобразование Абеля в двумерном случае F ( y ) {displaystyle F(y)} может рассматриваться как проекция осесимметричной функции f ( r ) {displaystyle f(r)} вдоль параллельных линий, проходящих на расстоянии y {displaystyle y} от оси. Согласно рисунку справа, наблюдатель (I) увидит величину

F ( y ) = ∫ − ∞ ∞ f ( r ) d x , {displaystyle F(y)=int limits _{-infty }^{infty }f(r),dx,}

где f ( r ) {displaystyle f(r)} — осесимметричная функция, изображенная на рисунке при помощи серого цвета. Предполагается, что наблюдатель находится при x = ∞ , {displaystyle x=infty ,} и таким образом пределы интегрирования равны ± ∞ {displaystyle pm infty } . Все линии наблюдения параллельны оси x {displaystyle x} .

Замечая, что радиус r {displaystyle r} соотносится с x {displaystyle x} и y {displaystyle y} как r 2 = x 2 + y 2 {displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}} , получаем, что

d x = r d r r 2 − y 2 . {displaystyle dx={frac {r,dr}{sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}

Так как переменная r {displaystyle r} при интегрировании не меняет знака, то подынтегральное выражение (как f ( r ) {displaystyle f(r)} , так и выражение для d x {displaystyle dx} ) является чётной функцией. Поэтому можно записать

∫ − ∞ ∞ f ( r ) d x = 2 ∫ 0 ∞ f ( r ) d x . {displaystyle int limits _{-infty }^{infty }f(r),dx=2int limits _{0}^{infty }f(r),dx.}

Замена переменной x {displaystyle x} на r {displaystyle r} даёт формулу преобразования Абеля:

F ( y ) = 2 ∫ y ∞ f ( r ) r d r r 2 − y 2 . {displaystyle F(y)=2int limits _{y}^{infty }{frac {f(r)r,dr}{sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}

Преобразование Абеля можно обобщить на случай большего числа измерений. Особенно интересен случай трёх измерений. В случае осесимметричной функции f ( ρ , z ) {displaystyle f( ho ,z)} , где ρ 2 = x 2 + y 2 {displaystyle ho ^{2}=x^{2}+y^{2}} является радиусом в цилиндрических координатах, можно спроектировать функцию на плоскость, параллельную оси z {displaystyle z} . Без потери общности можно взять плоскость, параллельную плоскости y z {displaystyle yz} . При этом

F ( y , z ) = ∫ − ∞ ∞ f ( ρ , z ) d x = ∫ y ∞ f ( ρ , z ) ρ d ρ ρ 2 − y 2 , {displaystyle F(y,z)=int limits _{-infty }^{infty }f( ho ,z),dx=int limits _{y}^{infty }{frac {f( ho ,z) ho ,d ho }{sqrt { ho ^{2}-y^{2}}}},}

что является преобразованием Абеля для f ( ρ , z ) {displaystyle f( ho ,z)} в переменных ρ {displaystyle ho } и y {displaystyle y} .

Частным случаем осевой симметрии является сферическая симметрия. В этом случае имеется функция f ( r ) {displaystyle f(r)} , где r 2 = x 2 + y 2 + z 2 {displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}} .

Проекция на плоскость y z {displaystyle yz} будет иметь круговую симметрию, которую можно записать как F ( s ) {displaystyle F(s)} , где s 2 = y 2 + z 2 {displaystyle s^{2}=y^{2}+z^{2}} . Производя интегрирование, получим

F ( s ) = ∫ − ∞ ∞ f ( r ) d x = ∫ s ∞ f ( r ) r d r r 2 − s 2 , {displaystyle F(s)=int limits _{-infty }^{infty }f(r),dx=int limits _{s}^{infty }{frac {f(r)r,dr}{sqrt {r^{2}-s^{2}}}},}

что опять является преобразованием Абеля для f ( r ) {displaystyle f(r)} в переменных r {displaystyle r} и s {displaystyle s} .

Связь с другими преобразованиями

Преобразование Абеля является членом так называемого цикла Фурье — Ханкеля — Абеля. Например, для случая двух измерений, если обозначить через A {displaystyle A} преобразование Абеля, F {displaystyle F} — преобразование Фурье и через H {displaystyle H} — преобразование Ханкеля нулевого порядка, то для функций с круговой симметрией будет выполняться равенство

F A = H , {displaystyle FA=H,}

то есть если применить к одномерной функции сначала преобразование Абеля, а затем преобразование Фурье, то результат будет тот же, как после применения к функции преобразования Ханкеля.